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把答案的各个数位上的数字相加,发现数根是5。所有加数的数根之和是32,32的数根是5,所以两者是一致的。弃九法对减法同样有效。例如,把我们在前面做的加法题改成减法题:
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答案48 923的数根是8。把减数和被减数的数根相减,得到5 – 6 = –1。由于–1 + 9 = 8,而且在答案的基础上加(或减)9的倍数都不会改变它的数根,因此我们说这两个数根是一致的。同理,如果减数和被减数的数根之差是0,答案的数根是9时,两者也是一致的。
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我们可以利用学到的这些知识,设计一个新的魔术(仿照本书引言中介绍的那个魔术)。请按以下步骤操作,可以使用计算器。
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第一步:选择一个任意的两位数或者三位数。
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第二步:把各个数位上的数字相加。
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第三步:用最初的数字减去第二步得出的和。
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第四步:将差的各个数位上的数字相加。
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第五步:如果和是偶数,就乘以5。
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第六步:如果和是奇数,就乘以10。
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第七步:减去15。
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你得到的那个数字是75吧?
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举个例子。假设你一开始时选择的数字是47,4 + 7 = 11,然后47 –11 = 36,之后3 + 6 = 9。由于9是奇数,乘以10后得到90,90 – 15 = 75。再比如,假设你选择了一个三位数:831。8 + 3 + 1 = 12,831 – 12 = 819,8 + 1 + 9 = 18。由于18是偶数,18×5 = 90,再减去15,得到75。
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这个魔术的原理如下。假设你最初选择的那个数字的各个数位上的数字之和是T,那么这个数必然比9的某个倍数多出T。从最初选择的那个数字中减去T,差必然小于999,而且是9的倍数,因此这个差的各个数位上的数字之和是9或18。(例如,如果你一开始时选择的数字是47,各个数位上的数字之和是11。从47中减去11,差为36,它的各个数位上的数字之和是9。)接下来,我们必然与上述各例一样,先得到90(要么是9×10,要么是18×5),再减去15后得到75。
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弃九法对乘法同样有效。把上道题中的两个数字相乘,看看会怎么样。
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运用第2章介绍的FOIL法则,可以解释弃九法适用于乘法的原因。例如,上例右侧的数根告诉我们,相乘的两个数可以写成9x+ 5和9y+ 6的形式,其中x、y是整数。
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(9x+ 5) (9y+ 6) = 81xy+ 54x+ 45y+ 30
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= 9 (9xy+ 6x+ 5y) + 30
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= 9的倍数 + (27 + 3)
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=9的倍数+ 3
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尽管除法没有用弃九法检验答案正确与否的惯例,但是我忍不住想向大家介绍一种神奇的方法,来解决除数是9的除法问题。有人把这种方法称作“吠陀法”(Vedic)。我们来看下面这道题:
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12 302 ÷ 9
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先把它写成这种形式:
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