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数学界把这类计数问题称作“组合”（combinations），把这种形式的数字称作“二项式系数”（binomial coefficients），把需要考虑先后次序的计数问题称作“排列”（permutations）。这些术语在使用时很容易发生混淆，例如，我们经常把“密码锁”说成“combination lock”（数字组合锁），实际上应该是“permutation lock”（数字排列锁），因为数字的先后次序非常重要。
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如果冰激凌店出售20种口味的冰激凌，你希望在一个圆筒中装5种不同口味的冰激凌（次序不重要），那么各种组合的数量为：
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顺便告诉大家，如果你们的计算器没有专门计算的按钮，也可以使用互联网，在搜索引擎中输入“20选5”，就可能会找到答案。
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二项式系数有时会出现在似乎需要考虑先后次序的问题之中。如果我们抛10次硬币，硬币正反面的排列方式（例如，正反正反反正正反反反，正正正正正正正正正正）有多少种呢？由于每次抛掷都有两个可能的结果，因此根据乘法法则，一共有210= 1 024个可能的排列，而且每种结果的发生概率都是相同的。（第一次听到这个结论时，有些人会感到吃惊，因为他们认为得到例子中给出的第二种结果的概率小于第一个。但实际上，得到这两个结果的概率都是。）不过，抛10次硬币，得到4个正面的概率大于10个正面，这是因为只有一种情况可以得到10个正面，这种情况发生的概率是。那么，抛10次得到4个正面的情况有多少种呢？这样的排列要求10次中有4次是正面朝上，其他6次都是反面朝上。从10次中选取4次，共有= 210种排列方式。（与从10种口味中选择4种不同口味冰激凌的情况相似。）因此，抛掷10次硬币，在公平公正的情况下，正好得到4个正面的概率是：
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≈20%
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延伸阅读
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我们自然而然地就会想到一个问题：从10种口味的冰激凌中挖3个球，可以重复选择同一口味，一共可以制成多少种圆筒冰激凌？（103/ 6显然不是正确答案，因为它连整数都不是！）直接的解法是：根据每个圆筒中有几种口味的冰激凌，分三种情况考虑。如果只有1种口味，自然只有10种可能。如果有3种口味，根据前面的讨论，我们知道共有= 120种可能。如果有2种口味，我们知道有种选取办法，然后还要考虑哪种口味挖2个球，因此共有2×= 90种可能。把这三种情况汇总起来，共可以制作出10 + 120 + 90 = 220种圆筒冰激凌。
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还有一种解法，无须分成三种情况，也可以得到正确答案。所有的圆筒冰激凌都可以表示成3个星号和9条竖线的形式。例如，选择第1、2、2种口味的冰激凌可以表示成下面这种星号—竖线排列：
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选择第2、2、7种口味时，上述排列就会变成：
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下面这种排列
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则表示圆筒中有第3、5、10种口味的冰激凌。3个星号与9条竖线的所有排列均对应不同的圆筒冰激凌。这些符号一共占据12个位置，其中3个位置上是星号。因此，星号与竖线的排列一共有= 220种。推而广之，从n个对象中选取k个对象，不考虑先后次序，而且可以重复选取，可选方案的数量就是k个星号与n– 1条竖线构成的排列，也就是说，有种选择方案。
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很多涉及概率问题的游戏都与组合有关。例如，在购买如上图所示的加州彩票时，你需要从1~47中选择5个不同的号码，此外，还需要在1~27中选择一个MEGA号码（该号码也可以是你选择的另外5个号码中的一个）。因此，MEGA号码共有27种选择，另外5个号码共有种选择。那么，加州彩票的号码组合共有：