1700995609
1700995610
1700995611
接下来的问题非常有意思，它有三种解法，而且其中有两种解法是正确的！这个问题是：5张牌中至少有一个A的牌型有多少种？有人可能张口就答：4×。他们认为，先选1个A，共有4种可能；然后从剩余的51张牌（包括其余的A）中随意选择4张。遗憾的是，这个答案是错误的，因为某些牌型（不只包含1个A）被统计了不止一次。例如，A♠A♡J♢9♣8♢，在先选择A♠（再选择其他4张牌）时会统计这个牌型，在先选择A♡（再选择其他4张牌）时会再次统计这个牌型。正确的解法是：根据牌型中A的个数，把这个问题分成4种情况考虑。例如，有且只有1个A的牌型有种（先选1个A，其余4张牌都不是A）。继续考虑它含2、3和4个A的情况，就可以得出至少有1个A的牌型总数：
1700995612
1700995613
1700995614
1700995615
1700995616
1700995617
但是，如果从相反的角度来考虑，计算就会简单得多。不含有A的牌型很容易算出来，数量是。因此，至少含有1个A的牌型数量是：
1700995618
1700995619
1700995620
1700995621
1700995622
我们发现扑克牌游戏中各种牌型的价值大小取决于其概率大小。例如，由于一对比两对的出现概率高，因此一对的价值低于两对。各种牌型的价值由低至高的次序是：
1700995623
1700995624
一对，两对，三条，顺子，同花，满堂红，四条，同花顺
1700995625
1700995626
只要记住“1、2、3、顺同花，2–3、4、同花顺”（“2–3”指满堂红），就不会搞错它们的次序。
1700995627
1700995628
现在，假设我们的扑克牌游戏里可以这样使用那两张王牌：共有54张牌，两张王牌是百搭牌，你可以赋予它们任意点数，以便凑成价值最大的牌型。例如，如果你拿到了A♡A♢K♠8♢和王牌，可以选择把王牌当作A，这样就凑成了三条。如果你把王牌当作K，牌型就是两对，价值低于三条。
1700995629
1700995630
1700995631
1700995632
1700995633
为王牌赋予什么点数才能形成价值最大的牌型？
1700995634
1700995635
于是，有意思的问题随之而来。如果按照传统方法判断牌型的价值高低，那么在你拿到像上图这种既可被视为三条又可被视为两对的牌型时，你肯定选择三条，而不愿意选择两对。但是，这样做的结果是：被视为三条的牌型数量超过被视为两对的牌型，两对反而变成一种更少见的牌型。如果我们试图通过提高两对的牌值来解决这个问题，就会导致两对的数量超过三条，同样的问题再次出现。1996年，数学家史蒂夫·加德布斯（Steve Gadbois）发现了这个现象，并得出了一个令人吃惊的结论：如果扑克牌游戏中可以使用王牌，就不可能始终根据牌型概率来决定牌型的价值。
1700995636
1700995637
1700995638
1700995639
1700995640
12堂魔力数学课 [:1700993730]
1700995641
12堂魔力数学课 帕斯卡三角形和圣诞节礼物
1700995642
1700995643
请仔细观察下图中的帕斯卡三角形（Pascal’s triangle）：
1700995644
1700995645
1700995646
1700995647
1700995648
用符号表示的帕斯卡三角形
1700995649
1700995650
1700995651
1700995652
我们在本书第1章学过，把数字排列成三角形就会表现出一些有趣的规律。本章讨论的数字排列成三角形时，也会形成非常美丽的规律。这个三角形被称为帕斯卡三角形，如上图所示。利用公式，我们可以把上图中的符号变成数字，如下图所示，然后寻找其中的规律。本章将对大多数规律做出解释，但你在第一遍阅读时尽可以略过不读，只要了解它有哪些规律即可。
1700995653
1700995654
1700995655
1700995656
1700995657
用数字表示的帕斯卡三角形
1700995658