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这个规律的一般表达式为:
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延伸阅读
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有两个方法可以证明这种对称关系。根据公式,我们可以进行代数证明:
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但是,无须借助公式,我们也能理解其中的道理。例如,为什么=呢?数字表示(从10种口味的冰激凌中)选择3种口味的冰激凌放到一个杯子里,这同时意味着有7种口味的冰激凌不会被放到杯子里,两者是一回事。
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你也许还看出了另外一个规律:各行中的所有数字,除去开头和结尾的那些1以外,都是其正上方的两个数字之和。我们把这个令人惊讶不已的关系称作“帕斯卡恒等式”(Pascal’s identity)。例如,观察帕斯卡三角形的第9行和第10行:
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每个数字都是其正上方的两数之和
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这是为什么呢?既然120 = 36 + 84,那么换成计数问题,这个等式就变成以下形式:
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为了理解其中的道理,我们先来思考这个问题:如果一家商店出售10种口味的冰激凌,你要买一个包含3种不同口味的圆筒冰激凌(口味的次序不重要),会有多少种选择呢?第一种答案是我们已经知道的:。但是,我们还可以换一个方法解决这个问题。假设其中一种口味是香草味,那么不含香草味的圆筒冰激凌有多少种呢?答案是,因为我们可以在剩下的9种口味中任意选择3种。含有香草味的圆筒冰激凌有多少种呢?如果香草味是必选口味,那么其余两种口味有种可选方案。因此,一共有+种选择。哪个答案是正确的呢?两个方法的逻辑都正确,因此两个答案都正确,也就是说它们的值是相同的。同理(如果你愿意,也可采用代数方法),对于0~n中的任意数k,下列公式都是成立的:
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接下来,我们把帕斯卡三角形中各行的数字分别相加(如下图所示),观察其中的规律。
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帕斯卡三角形中的各行数字之和都是2的幂次方
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可以看出,各行数字之和全部是2的幂次方。具体地说,第n行的数字和是2n。为什么会这样呢?我们可以对这个规律换一种表述方式:第0行的和是1,之后每增加一行,和就会随之增加一倍。借助帕斯卡恒等式(我们刚才已经完成了它的证明),就能明白其中的道理。例如,在求第5行的和时,我们用第4行的数字来改写求和算式,就会得到:
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