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这个规律的一般表达式为：
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延伸阅读
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有两个方法可以证明这种对称关系。根据公式，我们可以进行代数证明：
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但是，无须借助公式，我们也能理解其中的道理。例如，为什么=呢？数字表示（从10种口味的冰激凌中）选择3种口味的冰激凌放到一个杯子里，这同时意味着有7种口味的冰激凌不会被放到杯子里，两者是一回事。
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你也许还看出了另外一个规律：各行中的所有数字，除去开头和结尾的那些1以外，都是其正上方的两个数字之和。我们把这个令人惊讶不已的关系称作“帕斯卡恒等式”（Pascal’s identity）。例如，观察帕斯卡三角形的第9行和第10行：
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每个数字都是其正上方的两数之和
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这是为什么呢？既然120 = 36 + 84，那么换成计数问题，这个等式就变成以下形式：
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为了理解其中的道理，我们先来思考这个问题：如果一家商店出售10种口味的冰激凌，你要买一个包含3种不同口味的圆筒冰激凌（口味的次序不重要），会有多少种选择呢？第一种答案是我们已经知道的：。但是，我们还可以换一个方法解决这个问题。假设其中一种口味是香草味，那么不含香草味的圆筒冰激凌有多少种呢？答案是，因为我们可以在剩下的9种口味中任意选择3种。含有香草味的圆筒冰激凌有多少种呢？如果香草味是必选口味，那么其余两种口味有种可选方案。因此，一共有+种选择。哪个答案是正确的呢？两个方法的逻辑都正确，因此两个答案都正确，也就是说它们的值是相同的。同理（如果你愿意，也可采用代数方法），对于0~n中的任意数k，下列公式都是成立的：
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接下来，我们把帕斯卡三角形中各行的数字分别相加（如下图所示），观察其中的规律。
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帕斯卡三角形中的各行数字之和都是2的幂次方
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可以看出，各行数字之和全部是2的幂次方。具体地说，第n行的数字和是2n。为什么会这样呢？我们可以对这个规律换一种表述方式：第0行的和是1，之后每增加一行，和就会随之增加一倍。借助帕斯卡恒等式（我们刚才已经完成了它的证明），就能明白其中的道理。例如，在求第5行的和时，我们用第4行的数字来改写求和算式，就会得到：