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这是为什么呢？既然120 = 36 + 84，那么换成计数问题，这个等式就变成以下形式：
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为了理解其中的道理，我们先来思考这个问题：如果一家商店出售10种口味的冰激凌，你要买一个包含3种不同口味的圆筒冰激凌（口味的次序不重要），会有多少种选择呢？第一种答案是我们已经知道的：。但是，我们还可以换一个方法解决这个问题。假设其中一种口味是香草味，那么不含香草味的圆筒冰激凌有多少种呢？答案是，因为我们可以在剩下的9种口味中任意选择3种。含有香草味的圆筒冰激凌有多少种呢？如果香草味是必选口味，那么其余两种口味有种可选方案。因此，一共有+种选择。哪个答案是正确的呢？两个方法的逻辑都正确，因此两个答案都正确，也就是说它们的值是相同的。同理（如果你愿意，也可采用代数方法），对于0~n中的任意数k，下列公式都是成立的：
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接下来，我们把帕斯卡三角形中各行的数字分别相加（如下图所示），观察其中的规律。
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帕斯卡三角形中的各行数字之和都是2的幂次方
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可以看出，各行数字之和全部是2的幂次方。具体地说，第n行的数字和是2n。为什么会这样呢？我们可以对这个规律换一种表述方式：第0行的和是1，之后每增加一行，和就会随之增加一倍。借助帕斯卡恒等式（我们刚才已经完成了它的证明），就能明白其中的道理。例如，在求第5行的和时，我们用第4行的数字来改写求和算式，就会得到：
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1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
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= 1 + (1 + 4) + (4 + 6) + (6 + 4) + (4 + 1) + 1
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= (1 + 1) + (4 + 4) + (6 + 6) + (4 + 4) + (1 + 1)
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由此可见，第5行的数字之和正好是第4行数字之和的两倍。同理可证，和加倍的这条规律永远成立。
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将其转换成二项式系数的形式，第n行的所有数字之和为：
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从各项本身来看，它们都可以表示成阶乘的形式，通常可以被多个不同的数整除，但是各项之和竟然只有一个底数2，这个结果真的令人意想不到。
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这条规律还可以通过组合予以解释，我们把这个方法称为组合证明法。我们通过一家出售5种口味冰激凌的商店，来解释第5行的所有数字之和。（第n行的证明过程与之类似。）
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口味各不相同的圆筒冰激凌一共有多少种？
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如果要求所选冰激凌口味各不相同，一共可以制成多少种圆筒呢？圆筒里可以放入1、2、3、4或5种口味的冰激凌，而且先后次序不重要。有2种口味的冰激凌有多少种？前文中说过，有= 10种。根据所选口味的数量，圆筒冰激凌的总数为：
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