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用符号表示的帕斯卡三角形
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我们在本书第1章学过，把数字排列成三角形就会表现出一些有趣的规律。本章讨论的数字排列成三角形时，也会形成非常美丽的规律。这个三角形被称为帕斯卡三角形，如上图所示。利用公式，我们可以把上图中的符号变成数字，如下图所示，然后寻找其中的规律。本章将对大多数规律做出解释，但你在第一遍阅读时尽可以略过不读，只要了解它有哪些规律即可。
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用数字表示的帕斯卡三角形
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在用符号表示的帕斯卡三角形中，第0行只有一项，即= 1。（记住，0! = 1。）在用数字表示的帕斯卡三角形中，由于所有行的第一项和最后一项都是1，因此：
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请认真观察第5行：
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第5行：1 5 10 10 5 1
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注意，第二项是5。一般而言，第n行的第2项是n。这是有道理的，因为这个数字表示从n个对象中选取1个的方案数量，它的值等于n。还请注意，这个三角形的每一行都对称：从左至右看与从右至左看是一样的。例如，第5行中有：
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这个规律的一般表达式为：
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延伸阅读
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有两个方法可以证明这种对称关系。根据公式，我们可以进行代数证明：
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但是，无须借助公式，我们也能理解其中的道理。例如，为什么=呢？数字表示（从10种口味的冰激凌中）选择3种口味的冰激凌放到一个杯子里，这同时意味着有7种口味的冰激凌不会被放到杯子里，两者是一回事。
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你也许还看出了另外一个规律：各行中的所有数字，除去开头和结尾的那些1以外，都是其正上方的两个数字之和。我们把这个令人惊讶不已的关系称作“帕斯卡恒等式”（Pascal’s identity）。例如，观察帕斯卡三角形的第9行和第10行：
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每个数字都是其正上方的两数之和