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= (1 + 1) + (4 + 4) + (6 + 6) + (4 + 4) + (1 + 1)
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由此可见，第5行的数字之和正好是第4行数字之和的两倍。同理可证，和加倍的这条规律永远成立。
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将其转换成二项式系数的形式，第n行的所有数字之和为：
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从各项本身来看，它们都可以表示成阶乘的形式，通常可以被多个不同的数整除，但是各项之和竟然只有一个底数2，这个结果真的令人意想不到。
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这条规律还可以通过组合予以解释，我们把这个方法称为组合证明法。我们通过一家出售5种口味冰激凌的商店，来解释第5行的所有数字之和。（第n行的证明过程与之类似。）
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口味各不相同的圆筒冰激凌一共有多少种？
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如果要求所选冰激凌口味各不相同，一共可以制成多少种圆筒呢？圆筒里可以放入1、2、3、4或5种口味的冰激凌，而且先后次序不重要。有2种口味的冰激凌有多少种？前文中说过，有= 10种。根据所选口味的数量，圆筒冰激凌的总数为：
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化简后是1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1。此外，我们也可以用乘法法则来回答这个问题。我们先不考虑圆筒中有几种口味的冰激凌，而是针对每种口味考虑是否把它放进圆筒里。例如，巧克力味的冰激凌有2种选择（放或不放），香草味有2种选择（放或不放），以这种方式考虑全部5种口味的情况。（注意，如果我们针对每种口味所做的选择都是“不放”，最终得到的将是一个空圆筒，但这个结果是允许出现的。）因此，我们一共可以做出的圆筒冰激凌数量是：
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2×2×2×2×2 = 25
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由于两种方法都是合乎逻辑的，因此：
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证明完毕。
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延伸阅读
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通过类似的组合证明法可以发现，如果以间隔一个数的方式对第n行求和，得数是2n– 1。对于奇数行而言，这个规律很好理解。以第5行为例，1 + 10 + 5与被排除在外的5 + 10 + 1的得数一样，都等于所有数字之和2n的1/2。对于偶数行而言，这个规律同样有效。以第4行为例，1 + 6 + 1 = 4 + 4 = 23。一般而言，对于任意的n≥1，都有：
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这是为什么呢？等式左边表示圆筒中的冰激凌口味数量是偶数（冰激凌共有n种且口味各不相同）。我们也可以通过在第1至第（n– 1）种口味的冰激凌中做选择的方式配制出这些冰激凌。第1种口味的冰激凌有2个选择（放或不放），第2种口味有2个选择……第（n– 1）种口味有2个选择。但是，要让圆筒中冰激凌的口味数量是偶数，最后一种口味只能有1个选择。因此，冰激凌口味为偶数的圆筒数量是2n– 1。
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把帕斯卡三角形转化成直角三角形的形式，就可以发现更多的规律。最前面的一列（第0列）的各项都是1，紧随其后的一列（第1列）都是1、2、3、4等正整数。第2列的前几项是1、3、6、10、15…大家应该比较熟悉，这些都是我们在第1章里讨论过的三角形数。第2列的各个数字也可以写成:
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