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有2个2的序列有多少种？符合这个条件的代表性序列是221111，我在这里就不一一列出全部15种序列了。提醒大家注意一点：符合条件的序列都有2个2和4个1，共包含6个数。因此，2个2在这些序列中一共有= 15种不同的位置。同理，含有3个2的序列还必须包含2个1，共有5个数字，这样的序列有= 10种。最后，含有4个2的序列只有= 1种，即2222。
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比较这两个答案，就能得出令人满意的解释。一般而言，帕斯卡三角形的第n条对角线方向的数字之和，一定是一个斐波那契数列中的数字。具体地说，对于所有的n≥0，在求第n条对角线方向的数字之和（从第1项加到第n/ 2项，以保证求和的行为限制在三角形范围之内）时，我们都会得到：
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我们还可以通过拼图来理解斐波那契数列，这个方法的效果与前几种差不多，却更加直观。例如，f4= 5表明，在利用方块（长度为1）和双方块（长度为2）拼成长度为4的长条时共有5种拼法。比如，1 + 1 + 2表示方块—方块—双方块的拼法。
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利用方块和双方块拼成长度为4的长条共有5种拼法，证明f4= 5成立
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利用拼图法，我们还可以理解斐波那契数列的另一个重要规律。观察下表，找出斐波那契数列进行平方运算之后的规律。
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把斐波那契数列中两个连续的数字相加，和为下一个数字，这个结果并不令人吃惊。（毕竟，斐波那契数列就是这样定义的。）但是，你绝对想不到它们的二次幂竟然也有一些非常有意思的规律。我们先把连续数字的二次幂相加，看看它们的和有什么规律。
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斐波那契数列中f0至f10的二次幂
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我们利用计数的方法来解释其中的规律。最后一个等式表明：
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为什么会这样？通过一个简单的计数问题，我们就能理解其中的缘由。
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问题：利用方块和双方块拼成长度为10的长条，共有多少种方法？
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第一种方法：根据定义，有f10种拼法。下图所示是一种典型的拼法，即2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1。
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我们说这种拼法在第2、3、4、6、7、9和10单元处是可以拆分的。（也就是说，除了双方块的中间位置，其他地方都是可以拆分的。）而在第1、5、8单元处是不可拆分的。
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第二种方法：我们分两种情况考虑，即在第5单元处可以拆分的拼图和在该处不可拆分的拼图。在第5单元处可以拆分、长度为10的拼图共有多少种呢？这样的拼图可以一分为二，前一半有f5= 8种拼法，后一半也有f5= 8种拼法。因此，根据第4章介绍的乘法法则，如下图所示，共有f25= 82种拼法。
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