1700996144
1700996145
长度为10且在第5单元处可以拆分的拼图有f种
1700996146
1700996147
长度为10且在第5单元处不可拆分的拼图有多少种？在这样的拼图中，第5、6单元必然是一个双方块，如下图所示。在这种情况下，左右两边各有f4= 5种拼法，因此，在第5单元处不可拆分的长条共有f24= 52种拼法。把这两种情况加总，就会得到f10=f25+f24。证明完毕。
1700996148
1700996149
1700996150
1700996151
1700996152
1700996153
长度为10且在第5单元处不可拆分的拼图有f种
1700996154
1700996155
一般而言，取长度为2n的拼图，考虑中间位置可以拆分与不可拆分的情况，就可以得出下面这个美观简练的规律：
1700996156
1700996157
f2n=f2n+f2n– 1
1700996158
1700996159
延伸阅读
1700996160
1700996161
有了上面这个等式之后，我们可能希望推而广之，以便在类似情况下也可以使用它。例如，长度为m+n的拼图。在第m单元处可以拆分的拼图有多少种？左边有fm种拼法，右边有fn种拼法，因此共有fmfn种拼法。在第m单元处不可拆分的拼图有多少种呢？这种拼图的第m和m+ 1单元必然是一个双方块，因此其余的位置有fm–1fn–1种拼法。加到一起，就会得到下面这个非常有用的等式。对于m,n≥0：
1700996162
1700996163
fm+n=fmfn+fm– 1fn– 1
1700996164
1700996165
接下来，我们介绍另一个规律。把斐波那契数列中数字的二次幂相加，观察和有什么特征。
1700996166
1700996167
12+ 12= 2 = 1×2
1700996168
1700996169
12+ 12+ 22= 6 = 2×3
1700996170
1700996171
12+ 12+ 22+ 32= 15 = 3×5
1700996172
1700996173
12+ 12+ 22+ 32+ 52= 40 = 5×8
1700996174
1700996175
12+ 12+ 22+ 32+ 52+ 82= 104 = 8×13
1700996176
1700996177
…
1700996178
1700996179
哇，太棒了！斐波那契数列中数字的平方和，就是最后一个数字与下一个数字的乘积！为什么1、1、2、3、5、8的平方和等于8×13呢？用几何图形可以“看出”其中的奥秘。取边长分别是1、1、2、3、5、8的正方形，按下图所示的方式拼到一起。
1700996180
1700996181
1700996182
1700996183
1700996184
我们先放一个1×1的正方形，再在旁边放另一个1×1的正方形，就会得到一个1×2的长方形。在这个长方形的下面，放一个2×2的正方形，就会得到一个3×2的长方形。沿着长方形的长边，放一个3×3的正方形（得到一个3×5的长方形）。然后，在下面放置一个5×5的正方形（得到一个8×5的长方形）。最后，在旁边放置一个8×8的正方形，就会得到一个8×13的长方形。现在，我们考虑一个简单的问题。
1700996185
1700996186
问题：这个大长方形的面积是多少？
1700996187
1700996188
第一种方法：这个长方形的面积是所有正方形的面积之和。换句话说，大长方形的面积必然是12+ 12+ 22+ 32+ 52+ 82。
1700996189
1700996190
第二种方法：这个大长方形的高是8，底边长度为5 + 8 = 13，因此它的面积必然是8×13。
1700996191
1700996192
由于这两种方法都是正确的，所以算出的面积必然相等，上面的等式得以证明。事实上，回头去看这个大长方形的构建过程，你就会发现上面列出的关于这个规律的所有关系（例如，12+ 12+ 22+ 32+ 52= 5×8）都已经得到了证明。沿着这个思路，你还可以构建大小为13×21、21×34…的长方形。由此可知，这个规律永远成立，其一般表达式为：
1700996193