打字猴:1.700996127e+09
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1700996128 为什么会这样?通过一个简单的计数问题,我们就能理解其中的缘由。
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1700996130 问题:利用方块和双方块拼成长度为10的长条,共有多少种方法?
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1700996132 第一种方法:根据定义,有f10种拼法。下图所示是一种典型的拼法,即2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1。
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1700996137 我们说这种拼法在第2、3、4、6、7、9和10单元处是可以拆分的。(也就是说,除了双方块的中间位置,其他地方都是可以拆分的。)而在第1、5、8单元处是不可拆分的。
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1700996139 第二种方法:我们分两种情况考虑,即在第5单元处可以拆分的拼图和在该处不可拆分的拼图。在第5单元处可以拆分、长度为10的拼图共有多少种呢?这样的拼图可以一分为二,前一半有f5= 8种拼法,后一半也有f5= 8种拼法。因此,根据第4章介绍的乘法法则,如下图所示,共有f25= 82种拼法。
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1700996145 长度为10且在第5单元处可以拆分的拼图有f种
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1700996147 长度为10且在第5单元处不可拆分的拼图有多少种?在这样的拼图中,第5、6单元必然是一个双方块,如下图所示。在这种情况下,左右两边各有f4= 5种拼法,因此,在第5单元处不可拆分的长条共有f24= 52种拼法。把这两种情况加总,就会得到f10=f25+f24。证明完毕。
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1700996153 长度为10且在第5单元处不可拆分的拼图有f种
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1700996155 一般而言,取长度为2n的拼图,考虑中间位置可以拆分与不可拆分的情况,就可以得出下面这个美观简练的规律:
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1700996157 f2n=f2n+f2n– 1
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1700996159 延伸阅读
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1700996161 有了上面这个等式之后,我们可能希望推而广之,以便在类似情况下也可以使用它。例如,长度为m+n的拼图。在第m单元处可以拆分的拼图有多少种?左边有fm种拼法,右边有fn种拼法,因此共有fmfn种拼法。在第m单元处不可拆分的拼图有多少种呢?这种拼图的第m和m+ 1单元必然是一个双方块,因此其余的位置有fm–1fn–1种拼法。加到一起,就会得到下面这个非常有用的等式。对于m,n≥0:
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1700996163 fm+n=fmfn+fm– 1fn– 1
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1700996165 接下来,我们介绍另一个规律。把斐波那契数列中数字的二次幂相加,观察和有什么特征。
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1700996167 12+ 12= 2 = 1×2
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1700996169 12+ 12+ 22= 6 = 2×3
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1700996171 12+ 12+ 22+ 32= 15 = 3×5
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1700996173 12+ 12+ 22+ 32+ 52= 40 = 5×8
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1700996175 12+ 12+ 22+ 32+ 52+ 82= 104 = 8×13
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