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为什么会这样？通过一个简单的计数问题，我们就能理解其中的缘由。
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问题：利用方块和双方块拼成长度为10的长条，共有多少种方法？
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第一种方法：根据定义，有f10种拼法。下图所示是一种典型的拼法，即2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1。
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我们说这种拼法在第2、3、4、6、7、9和10单元处是可以拆分的。（也就是说，除了双方块的中间位置，其他地方都是可以拆分的。）而在第1、5、8单元处是不可拆分的。
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第二种方法：我们分两种情况考虑，即在第5单元处可以拆分的拼图和在该处不可拆分的拼图。在第5单元处可以拆分、长度为10的拼图共有多少种呢？这样的拼图可以一分为二，前一半有f5= 8种拼法，后一半也有f5= 8种拼法。因此，根据第4章介绍的乘法法则，如下图所示，共有f25= 82种拼法。
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长度为10且在第5单元处可以拆分的拼图有f种
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长度为10且在第5单元处不可拆分的拼图有多少种？在这样的拼图中，第5、6单元必然是一个双方块，如下图所示。在这种情况下，左右两边各有f4= 5种拼法，因此，在第5单元处不可拆分的长条共有f24= 52种拼法。把这两种情况加总，就会得到f10=f25+f24。证明完毕。
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长度为10且在第5单元处不可拆分的拼图有f种
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一般而言，取长度为2n的拼图，考虑中间位置可以拆分与不可拆分的情况，就可以得出下面这个美观简练的规律：
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f2n=f2n+f2n– 1
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延伸阅读
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有了上面这个等式之后，我们可能希望推而广之，以便在类似情况下也可以使用它。例如，长度为m+n的拼图。在第m单元处可以拆分的拼图有多少种？左边有fm种拼法，右边有fn种拼法，因此共有fmfn种拼法。在第m单元处不可拆分的拼图有多少种呢？这种拼图的第m和m+ 1单元必然是一个双方块，因此其余的位置有fm–1fn–1种拼法。加到一起，就会得到下面这个非常有用的等式。对于m,n≥0：
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fm+n=fmfn+fm– 1fn– 1
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接下来，我们介绍另一个规律。把斐波那契数列中数字的二次幂相加，观察和有什么特征。
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12+ 12= 2 = 1×2
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12+ 12+ 22= 6 = 2×3
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12+ 12+ 22+ 32= 15 = 3×5
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12+ 12+ 22+ 32+ 52= 40 = 5×8
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12+ 12+ 22+ 32+ 52+ 82= 104 = 8×13
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