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哇，太棒了！斐波那契数列中数字的平方和，就是最后一个数字与下一个数字的乘积！为什么1、1、2、3、5、8的平方和等于8×13呢？用几何图形可以“看出”其中的奥秘。取边长分别是1、1、2、3、5、8的正方形，按下图所示的方式拼到一起。
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我们先放一个1×1的正方形，再在旁边放另一个1×1的正方形，就会得到一个1×2的长方形。在这个长方形的下面，放一个2×2的正方形，就会得到一个3×2的长方形。沿着长方形的长边，放一个3×3的正方形（得到一个3×5的长方形）。然后，在下面放置一个5×5的正方形（得到一个8×5的长方形）。最后，在旁边放置一个8×8的正方形，就会得到一个8×13的长方形。现在，我们考虑一个简单的问题。
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问题：这个大长方形的面积是多少？
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第一种方法：这个长方形的面积是所有正方形的面积之和。换句话说，大长方形的面积必然是12+ 12+ 22+ 32+ 52+ 82。
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第二种方法：这个大长方形的高是8，底边长度为5 + 8 = 13，因此它的面积必然是8×13。
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由于这两种方法都是正确的，所以算出的面积必然相等，上面的等式得以证明。事实上，回头去看这个大长方形的构建过程，你就会发现上面列出的关于这个规律的所有关系（例如，12+ 12+ 22+ 32+ 52= 5×8）都已经得到了证明。沿着这个思路，你还可以构建大小为13×21、21×34…的长方形。由此可知，这个规律永远成立，其一般表达式为：
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12+ 12+ 22+ 32+ 52+ 82+ … +F2n=FnFn+1
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接下来，我们将斐波那契数列中与某个数字左右相邻的两个数字相乘，看看乘积有什么规律。例如，在斐波那契数列中，与5相邻的两个数字分别是3和8，乘积是3×8 = 24，比52小1；与8相邻的两个数字分别是5和13，乘积是5×13 = 65，比82大1。认真观察下表，很容易得出：在斐波那契数列中，与某个数字左右相邻的两个数字相乘，乘积与该数字的二次幂相差1。换句话说：
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F2n–Fn–1Fn+1= ±1
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与某个数字左右相邻的两数乘积与该数字的二次幂之间相差1
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利用归纳法（一种证明方法，我们将在下一章学习这种方法）可以证明，对于n≥1：
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F–Fn–1Fn+1= (–1)n+1
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接下来，我们研究与某个数字距离较大的两个数字的乘积，以便把这个规律推而广之。以F5= 5为例，我们发现，与之紧密相邻的两个斐波那契数字的乘积是3×8 = 24，与52相差1。与5相距2个数字的左右两数相乘时，也会得到相同的结果，即2×13 = 26同样与52相差1。与5相距3、4或5个数字的左右两数相乘呢？它们的乘积分别是1×21 = 21，1×34 = 34，0×55 = 0。这些乘积与25相差多少呢？它们的距离分别是4、9、25，都是完全平方数。而且，它们不是没有任何规律的完全平方数，而是斐波那契数列中数字的二次幂！下表给出了更多的证据，证明这个规律确实存在，其一般表达式为：
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F2n–Fn–rFn+r=±F2r
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在斐波那契数列中，某个数字的两个远邻的乘积一定与该数字的二次幂相距较近，该距离一定是某个数字的二次幂
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12堂魔力数学课 [:1700993734]
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12堂魔力数学课 质数、黄金比例与《达·芬奇密码》
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我们已经知道，帕斯卡三角形中的偶数与奇数表现出一种极其复杂的规律。对于斐波那契数列而言，情况则简单得多。在斐波那契数列中哪些是偶数呢？
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