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于是，斐波那契数列变为：
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1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1…
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在第8项之后，又回到了1和1，因此整个数列围绕大小为8的数据块不断重复，其中0排在第4位。因此，序号是4的倍数的数字都是3的倍数，反之亦然。如果模为5、8或13，就可以证明：
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序号是5的倍数的数字都是5的倍数；
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序号是6的倍数的数字都是8的倍数；
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序号是7的倍数的数字都是13的倍数。
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而且，这个规律还可以继续推而广之。
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斐波那契数列中两个相邻的数字有什么规律呢？它们有什么共同点吗？有意思的是，我们现在可以证明，从某种意义上讲，这些数字没有任何共同点。所以，我们说两个相邻的数字
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(1 , 1), (1 , 2), (2 , 3), (3 , 5), (5 , 8), (8 , 13), (13 , 21), (21 , 34),…
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是互质的。也就是说，不存在一个大于1且可以同时整除这两个数字的数。例如，以上面最后一对数字为例，我们发现21可以被1、3、7、21整除，而34的因数是1、2、17、34。因此，除了1以外，21和34没有公因数。我们能确定这个规律始终成立吗？我们是否可以确定下一对数字，即 (34 , 55)，也是互质的？我们无须找出55的因数，即可完成这项证明。我们反过来假设存在一个数字d> 1且可以同时整除34和55，那么这个数字肯定可以整除它们的差55 – 34 = 21（如果55和34都是d的倍数，它们的差也肯定是d的倍数）。但这是不可能的，因为我们已经知道不存在一个大于1且可以同时整除21和34的数字d。重复这个证明过程，就可以证明斐波那契数列中所有两个相邻的数字都是互质的。
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接下来，我要向大家介绍斐波那契数列最讨人喜欢的一个特点！我们知道，两个数字的“最大公因数”（greatest common divisor）是可以同时整除这两个数字且数值最大的那个数。例如，20和90的最大公因数是10，记作：
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(20 , 90) = 10
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你知道斐波那契数列中的第20个和第90个数字的最大公因数是多少吗？绝对难以想象！答案是55，这个数字本身也包含在斐波那契数列中，而且正好是第10个数字！用等式表示的话，就是：
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(F20，F90) =F10
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一般地，对于整数m和n，有：
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(Fm，Fn) =F(m,n)
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也就是说，“斐波那契数列中两个数字的最大公因数也是斐波那契数列中的数字，它的序号就是那两个数字序号的最大公因数”！尽管我们不准备证明这个规律，但我还是要把它介绍给大家，因为这确实是一个美轮美奂的规律，我完全无法抵制它的诱惑。
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规律有时候也具有欺骗性。例如，斐波那契数列中的哪些数字是“质数”（prime number）？（我们在下一章就会讨论质数的概念，它是指大于1且只能被1和自身整除的数。）大于1但不是质数的数叫作“合数”（composite number），因为它们可以被分解成较小数字的乘积形式。前几个质数是
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2，3，5，7，11，13，17，19…
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下面，我们考察序号为质数的斐波那契数列中的数字：
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F2= 1，F3= 2，F5= 5，F7= 13，F11= 89，F13= 233，F17= 1 597
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可以看出，2、5、13、89、233、1 597都是质数。这个现象似乎表明，如果p> 2是质数，那么Fp也是质数。但是，F19= 4 181不是质数，因为4 181 = 37×113。然而，如果斐波那契数列中的某个数字大于3且为质数，那么它的序号一定是质数，这条规律确实存在，而且可以根据我们前面讨论的一条规律推导得出。例如，F14肯定是一个合数，因为斐波那契数列中序号是7的倍数的数字都是F7= 13的倍数（事实确实如此，F14= 377 = 13×29）。
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事实上，斐波那契数列中的数字为质数的情况极为少见。在我创作本书的时候，已经被证实是质数的数字一共只有33个，其中最大的是F81 839。对于斐波那契数列中的质数个数是否为无限的问题，数学界还没有得出最终结论。
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下面，我暂停讨论这些严肃的内容，为大家表演一个根据斐波那契数列设计的小魔术。
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