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12+ 12+ 22+ 32+ 52+ 82+ … +F2n=FnFn+1
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接下来，我们将斐波那契数列中与某个数字左右相邻的两个数字相乘，看看乘积有什么规律。例如，在斐波那契数列中，与5相邻的两个数字分别是3和8，乘积是3×8 = 24，比52小1；与8相邻的两个数字分别是5和13，乘积是5×13 = 65，比82大1。认真观察下表，很容易得出：在斐波那契数列中，与某个数字左右相邻的两个数字相乘，乘积与该数字的二次幂相差1。换句话说：
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F2n–Fn–1Fn+1= ±1
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与某个数字左右相邻的两数乘积与该数字的二次幂之间相差1
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利用归纳法（一种证明方法，我们将在下一章学习这种方法）可以证明，对于n≥1：
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F–Fn–1Fn+1= (–1)n+1
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接下来，我们研究与某个数字距离较大的两个数字的乘积，以便把这个规律推而广之。以F5= 5为例，我们发现，与之紧密相邻的两个斐波那契数字的乘积是3×8 = 24，与52相差1。与5相距2个数字的左右两数相乘时，也会得到相同的结果，即2×13 = 26同样与52相差1。与5相距3、4或5个数字的左右两数相乘呢？它们的乘积分别是1×21 = 21，1×34 = 34，0×55 = 0。这些乘积与25相差多少呢？它们的距离分别是4、9、25，都是完全平方数。而且，它们不是没有任何规律的完全平方数，而是斐波那契数列中数字的二次幂！下表给出了更多的证据，证明这个规律确实存在，其一般表达式为：
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F2n–Fn–rFn+r=±F2r
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在斐波那契数列中，某个数字的两个远邻的乘积一定与该数字的二次幂相距较近，该距离一定是某个数字的二次幂
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12堂魔力数学课 [:1700993734]
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12堂魔力数学课 质数、黄金比例与《达·芬奇密码》
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我们已经知道，帕斯卡三角形中的偶数与奇数表现出一种极其复杂的规律。对于斐波那契数列而言，情况则简单得多。在斐波那契数列中哪些是偶数呢？
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1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…
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偶数有F3= 2，F6= 8，F9= 34，F12= 144，等等。（在本节中，由于斐波那契数列表现出更美的规律性，因此我们继续用大写字母“F”来表示斐波那契数列中的数字。）前几个偶数出现在第3、6、9、12等的位置上，说明每3项就有一个偶数。我们注意到，这个规律始于：
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奇，奇，偶
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然后重复：
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奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶……
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这是因为，在每个“奇，奇，偶”代码块之后，接下来的代码块必然以“奇 + 偶 = 奇”开始，然后是“偶 + 奇 = 奇”，再然后是“奇 + 奇 = 偶”，如此循环往复。
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用第3章的同余概念来表示的话，就是说斐波那契数列中的所有偶数都关于0同余（模为2），所有奇数都关于1同余（模为2），并且1 + 1 ≡ 0 (mod 2)。因此，斐波那契数列的以2为模的表达方式是：
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1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…
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那么，斐波那契数列中的哪些数字是3的倍数呢？前几个是3的倍数的数字为F4= 3，F8= 21，F12= 144，这似乎表明序号是4的倍数的数字都是3的倍数。为了证明这个猜想，我们以3为模，把斐波那契数列简化成0、1或2的形式，其中1 + 2 ≡ 0，且2 + 2 ≡1 (mod 3)。