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包含所有整数：正数、负数和零。
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之后，我们要对这些对象做出一些显而易见的假设。例如，“两个整数的和或积一定是整数”。（下一章将讨论几何学，届时我们会做出这样的假设：“对于任意两点，都可以画出一条经过这两点的直线”。）这些显而易见的命题叫作“公理”（axioms）。在这些公理的基础上，通过逻辑推理和代数运算，我们经常可以推导出一些正确的命题，叫作“定理”（theorems）。定理有时候并不是显而易见的。阅读本章，你可以学会证明数学命题的基本方法。
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我们先来证明一些很容易取信于人的定理。第一次听到“两个偶数的和是偶数”、“两个奇数的乘积是奇数”等命题时，我们通常会默默地举出几个实例，检验之后才会断定这个命题是真实的或者有道理的。你有时甚至会想，这个命题太显而易见了，都可以当作公理使用了。但是，我们没必要把它作为公理，因为利用已知的公理，可以证明这个命题为真。在证明偶数和奇数的某些属性时，我们需要先弄明白它们的含义。
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“偶数”是2的倍数。用代数语言来表述的话，就是如果n= 2k，k是整数，那么我们说n是偶数。0是不是偶数呢？是偶数，因为0 = 2×0。现在，我们可以证明“两个偶数的和是偶数”这个命题了。
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定理：如果m和n是偶数，那么m+n也是偶数。
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这是一个典型的“如果—那么”定理。在证明这种命题时，我们通常会对“如果”部分做出假设，然后通过逻辑和代数运算，证明可以根据假设得出“那么”部分。在本例中，我们假设m和n是偶数，希望得出m+n也是偶数的结论。
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证明：假设m和n是偶数，因此m= 2j，n= 2k，其中j和k都是整数，进而可以得出：
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m+n= 2j+ 2k= 2 (j+k)
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由于j+k是整数，因此m+n是2的倍数，从而证明m+n必然是偶数。
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注意，上述证明的依据是，两个整数的和（即本例中的j+k）也必然是整数这条公理。在证明复杂的命题时，我们不仅需要依赖一些基本公理，还可能需要利用已经被证明的定理。数学界的一个常见做法就是在证明结束之后，在最后一行的右侧页边添加一个标识，例如□、■或者Q. E .D。Q. E. D是拉丁语“quod erat demonstrandum”的缩写，意思是“证明完毕”。（如果你愿意，你也可以把它看作英语“quite easily done”的缩写，意思是“太简单了”。）如果我认为某个证明过程特别美妙，我就会在结尾处画一个笑脸符号（）。
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在证明了“如果—那么”定理之后，数学家们开始考虑逆命题的真实性。逆命题就是把原命题的“如果”和“那么”这两个部分对调之后得到的命题。上例的逆命题是：“如果m+n是偶数，那么m和n都是偶数”。只需举出一个“反例”（counterexample），就能很容易地证明这是一个假命题。对于这个命题而言，我们可以举一个非常简单的反例：
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1 + 1 = 2
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这个例子表明，即使两个数不是偶数，它们的和也可以是偶数。
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下面讨论一条关于“奇数”的定理。奇数是指不是2的倍数的数字。如果用2除以一个奇数，余数一定是1。用代数语言来表述，就是如果n= 2k+ 1，k是整数，那么n是奇数。有了这个定义之后，我们只需通过简单的代数运算，就能证明“两个奇数的乘积是奇数”这个命题。
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定理：如果m和n是奇数，那么mn也是奇数。
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证明：假设m和n是奇数。那么m= 2j+ 1，n= 2k+ 1，j、k是整数。根据FOIL法则：
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mn= (2j+ 1) (2k+ 1) = 4jk+ 2j+ 2k+ 1 = 2 (2jk+j+k) + 1
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由于2jk+j+k是整数，因此mn是“某个整数的2倍 + 1”，从而证明mn是奇数。 □
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它的逆命题“如果mn是奇数，那么m和n都是奇数”是否为真呢？这个命题也是真命题，我们可以利用“反证法”（proof by contradiction）来证明。反证法是指，如果我们否定结论（“m、n都是奇数”），我们之前做出的假设就不成立。因此，从逻辑上讲，结论必定是成立的。
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定理：如果mn是奇数，那么m和n都是奇数。
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证明：与结论相反，我们假设m或n是偶数（或同为偶数）。这两个数字中到底哪一个是偶数无关紧要，我们假定m是偶数，也就是说，m= 2j，j为整数。那么，乘积mn= 2jn也是偶数，这与我们之前假设mn是奇数的前提相悖。
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如果某个命题和它的逆命题都是真命题，数学界就称之为“当且仅当定理”（if and only if theorem）。我们前面已经完成了下述定理的证明工作。
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定理：当且仅当mn是奇数时，m和n都是奇数。
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