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12堂魔力数学课 [:1700993736]
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12堂魔力数学课 紫牛、俄罗斯方块与数学定理的证明
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数学的一大乐趣，也是数学不同于其他科学的显著标志，就是它可以通过证明的方式帮助我们拨云见日，消除疑虑。在其他科学领域，我们之所以接受某些法则，是因为这些法则与现实世界一致，但一旦有新的证据出现，这些法则就有可能被推翻或者修改。在数学领域，如果某个命题被证明为真，那么它将永远是真实的。例如，欧几里得早在两千多年前就证明了质数有无数个，对于这个命题的真实性，我们无须怀疑。技术诞生之后还会退出历史舞台，但数学定理亘古不变。伟大的数学家高德菲·哈罗德·哈代（G. H. Hardy）说过：“同画家和诗人一样，数学家也是规律的创造者。数学家创造的规律之所以更加持久，原因就在于这些规律中蕴藏着思想。”我常常想，要想在学术方面取得不朽的成绩，最好的办法就是证明一条新的数学定理。
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数学家不仅可以证明某些事情的确定性，还可以证明某些事情是不可能的。人们有时说：“你无法证伪。”这句话的意思是，你无法证明紫色奶牛不存在，因为说不定哪天就会出现一头这样的奶牛。但在数学领域，你可以证伪。例如，无论你怎么努力，都找不到和为奇数的两个偶数，也找不到比其他质数都大的质数。第一次接触时，证明可能会让我们望而生畏（也许第二次、第三次时我们还会感到害怕），需要不断练习才能逐渐适应。但是，一旦你精于此道，就会觉得其乐无穷，无论是你自己动手证明，还是看别人的证明过程。好的证明就像一个精彩的故事，让你满心愉悦。
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接下来，我和大家分享我第一次证明某件事是不可能的经历。小时候，我喜欢玩游戏、做智力测试题。一天，一位朋友给我出了一道难题，让我兴致盎然。他拿出一个空的8×8棋盘和32个普通的1×2双方块，然后问我：“你可以用这些双方块，把整个棋盘都盖住吗？”我说：“当然可以，只要每行放4个双方块就行了。”
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用1×2的双方块覆盖8×8的棋盘
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他说：“非常好！现在，我们把右下角和左上角的这两个方格去掉。”说完，他在这两个方格上各放了一枚硬币，表示这两个区域不存在。“你可以用31个双方块覆盖棋盘上剩下的62个方格吗？”
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去掉右下角和左上角的两个方格之后，双方块可以盖住整个棋盘吗？
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“也许可以吧。”我答道。但是，无论我怎么摆放，双方块都无法盖住整个棋盘。于是我想，这个任务是不是不可能完成呢？
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“如果你觉得这个任务无法完成，你如何证明？”朋友问道。但是，摆放双方块的方法有无数种，如果我不一一尝试，怎么能证明这是一个不可能完成的任务呢？这时候，他给了我一点儿提示：“观察一下棋盘上的颜色。”
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颜色？这与颜色有什么关系？我突然想明白了。由于去掉的两个方格都是浅色的，因此棋盘上还剩下32个深色方格和30个浅色方格。每个双方块正好覆盖一个浅色方格和一个深色方格，所以用31个双方块不可能盖住整个棋盘。太棒了！
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延伸阅读
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如果你喜欢上面的证明过程，那么你肯定也会喜欢下面这个证明过程。俄罗斯方块游戏中有7种形状各异的板块，有时候它们分别被称为I、J、L、O、Z、T、S。
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这7个板块可以拼成一个4×7的长方形吗？
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由于每个板块都包含4个1×1方块，因此我们自然想知道7个板块是不是可以拼成一个4×7的长方形，拼装的时候可以翻转或旋转这些板块。事实证明，这个任务是无法完成的。如何证明它是不可能的呢？如下图所示，把4×7长方形涂成14个浅色方格和14个深色方格。
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请注意，除了T以外，其他的板块无论摆放到哪个位置上，都会覆盖两个深色方格和两个浅色方格。而在T覆盖的4个方格中，有三个方格的颜色一样。因此，无论其余6个板块怎么摆放，它们都会覆盖12个浅色方格和12个深色方格。剩余的2个浅色方格和2个深色方格只能用板块T来覆盖，而这是不可能的。
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如果我们认为某个数学命题是真实的，怎样才能证明它的确是真实的呢？通常，先要对我们所研究的数学对象进行描述。例如，我们说整数集合
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…，–2，–1，0，1，2，3，…
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