1700996632
1700996633
2 =a2/b2
1700996634
1700996635
也就是说，a2= 2b2。由此可知，a2必然是偶数。如果a2是偶数，那么a也必然是偶数（前文中已经证明，如果a是奇数，那么其自乘的结果也必然是奇数）。因此，a= 2k，k是整数。将它代入上面的等式，就有：
1700996636
1700996637
(2k)2= 2b2
1700996638
1700996639
4k2= 2b2
1700996640
1700996641
b2= 2k2
1700996642
1700996643
1700996644
1700996645
1700996646
因此，b2是偶数。既然b2是偶数，b也必然是偶数。但是，a和b都是偶数，这与a/b是最简分数的前提相矛盾。因此，是有理数这个假设不成立，这证明是无理数。
1700996647
1700996648
单凭逻辑的力量，就证明了一个非常令人吃惊的结果，所以我十分喜欢这个证明过程（画了个笑脸）。本书第12章将告诉我们，无理数非常多。事实上，从严格意义上讲，绝大多数的实数都是无理数，尽管我们在日常生活中接触的大多是有理数。
1700996649
1700996650
上面这条定理有一个有趣的“推论”（corollary），推论是指由某条定理推导得出的定理。这个推论的推导过程利用了“指数定律”（law of exponentiation），即对于任意整数a、b、c：
1700996651
1700996652
（ab）c=abc
1700996653
1700996654
例如，（53）2= 56，这是有道理的，因为：
1700996655
1700996656
（53）2= (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 56
1700996657
1700996658
推论：存在无理数a和b，使得ab是有理数。
1700996659
1700996660
1700996661
尽管现在我们只知道一个无理数，即，但足以证明这条定理，这真是太棒了！下面的证明过程可以告诉你符合条件的a和b是存在的，但不能告诉你它们的值分别是多少。我们把这种证明称为“存在性证明”（existence proof）。
1700996662
1700996663
1700996664
1700996665
1700996666
1700996667
1700996668
1700996669
1700996670
1700996671
1700996672
1700996673
证明：我们知道是无理数，我们来看这个数字，它是不是有理数呢？如果是，那么令a=，b=，命题就得到了证明。如果答案是否定的，就说明我们知道的无理数又多了一个，即。令a=，b=，根据指数定律，就可以得到：
1700996674
1700996675
1700996676
1700996677
1700996678
1700996679
1700996680
1700996681
答案是一个有理数。因此，无论是有理数还是无理数，我们都可以找到a、b，使得ab是有理数。