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存在性证明这种证明方法通常很巧妙，但它有时也存在不尽如人意的地方，无法告诉你想要了解的所有信息。（如果你感到好奇，我可以告诉你是无理数，但这不属于本章讨论的范围。）
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更能让人心满意足的证明方法是“构造性证明”（constructive proof），因为它告诉你的信息正好是你想要了解的信息。例如，我们可以证明所有的有理数a/b都是有尽或者循环小数（这是因为，随着除法运算的进行，b除过的数字必然会再次出现，并被b除）。但是，它的反命题是否正确？有尽小数必然是有理数，例如，0.123 58 =12 358 / 100 000。循环小数呢？例如，0.123 123 123…一定是有理数吗？答案是肯定的。下面这种巧妙的方法可以告诉我们有理数到底是什么。我们把这个神秘数字设为w，于是：
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w= 0.123 123 123…
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两边同时乘以1 000，上式就会变成：
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1 000w= 123.123 123 123…
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用第二个等式减去第一个等式，就会得到：
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999w= 123
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w==
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我们换另一个循环小数再试一试。这一次的循环小数并不是从小数点后第一位就开始循环，比如，如何将小数0.833 33…表示成分数形式呢？先令：
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x= 0.833 33…
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两边同时乘以100：
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100x= 83.333 3…
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再同时除以10：
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10x= 8.333 3…
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从100x中减去10x，小数点后面的所有项都抵消了：
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90x= (83.333 3…) – (8.333 3…) = 75
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x==
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运用构造性证明这种证明方法，我们可以证明当且仅当某个数字的小数形式是有尽或者循环小数时，该数才是有理数。如果某数的小数形式是不循环的无尽小数，例如：
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v= 0.123 456 789 101 112 131 415…
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这个数字就是无理数。
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