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另一方面，我们从左上角开始，沿对角线方向观察，就会发现这个正方形是由1个1×1的正方形，2个2×2的正方形（其中一个正方形被分割成两半），3个3×3的正方形，4个4×4的正方形（其中一个正方形被分割成两半）和5个5×5的正方形构成的，因此它的面积等于：
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(1×12) + (2×22) + (3×32) + (4×42) + (5×52)
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= 13+ 23+ 33+ 43+ 53
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由于计算的面积相等，所以：
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13+ 23+ 33+ 43+ 53= (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
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利用相同的方法可以画出边长为1 + 2 + … +n的正方形，并证明下面这个等式成立：
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13+ 23+ 33+ … +n3= (1 + 2 + 3 + … +n)2
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归纳性证明法不仅限于证明求和问题。只要我们可以用“较小”问题（n=k时）的答案来推导出“较大”问题（n=k+ 1时）的答案，归纳性证明法往往就有用武之地。下面向大家介绍一个让我深感满意的归纳性证明实例。问题与本章开头讨论的棋盘覆盖问题有关，但不是证明不可能性，而是证明某种可能性。而且，我们使用的不是双方块，而是L形的三方块。
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因为64不是3的倍数，全部使用三方块的话是无法覆盖8×8棋盘的。但是，如果在棋盘上放一个1×1方块，那么无论这个1×1方块放在棋盘的什么位置，我们都可以用三方块覆盖棋盘的剩余面积。而且，这个命题不仅在棋盘的规格是8×8时为真，对于2×2、4×4、16×16的棋盘，该命题同样成立。
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定理：对于所有的n≥1，都可以用三方块和一个1×1方块完全覆盖规格为2n×2n的棋盘，而且1×1方块可以放置在棋盘的任何位置上。
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证明：当n= 1时，定理成立，因为任何一个2×2的棋盘都可以用一个三方块和一个1×1方块来覆盖，而且1×1方块可以摆放在棋盘的任何位置上。接下来，假设当n=k时（即棋盘大小为2k×2k时）定理也成立。我们需要完成的任务是证明在棋盘大小为2k+1×2k+1时，该定理仍然成立。如下图所示，将1×1方块摆放在棋盘的任意位置上，然后将棋盘分成四等分。
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用三方块覆盖棋盘
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由于放有1×1方块的那一等分的大小为2k×2k，因此，它可以被三方块完全覆盖（根据假设，当n=k时，定理成立）。接下来，我们在棋盘的中心位置放一个三方块，让它与其余三个等分相交。这三个等分的大小分别为2k×2k，且其中有一个1×1方格已经被覆盖了，所以用三方块可以完全覆盖住它们。因此，在棋盘大小为2k+1×2k+1时，定理仍然成立。
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本节最后证明的等式有很多重要应用，我们将用归纳证明法和其他几种不同方法予以证明。这个令人感兴趣的问题是：如果从20= 1开始，将2的前n次方相加，和是多少？下面是排在前几位的2的幂次方：
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1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1 024…
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将它们加到一起，就会得到：
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大家看出其中的规律了吗？所有的和都比2的更高次幂小1。
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定理：对于n≥1，
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1 + 2 + 4 + 8 +… + 2n–1= 2n– 1
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