打字猴:1.700996898e+09
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1700996899 另一方面,我们从左上角开始,沿对角线方向观察,就会发现这个正方形是由1个1×1的正方形,2个2×2的正方形(其中一个正方形被分割成两半),3个3×3的正方形,4个4×4的正方形(其中一个正方形被分割成两半)和5个5×5的正方形构成的,因此它的面积等于:
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1700996901 (1×12) + (2×22) + (3×32) + (4×42) + (5×52)
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1700996903 = 13+ 23+ 33+ 43+ 53
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1700996905 由于计算的面积相等,所以:
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1700996907 13+ 23+ 33+ 43+ 53= (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
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1700996909 利用相同的方法可以画出边长为1 + 2 + … +n的正方形,并证明下面这个等式成立:
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1700996912 13+ 23+ 33+ … +n3= (1 + 2 + 3 + … +n)2
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1700996914 归纳性证明法不仅限于证明求和问题。只要我们可以用“较小”问题(n=k时)的答案来推导出“较大”问题(n=k+ 1时)的答案,归纳性证明法往往就有用武之地。下面向大家介绍一个让我深感满意的归纳性证明实例。问题与本章开头讨论的棋盘覆盖问题有关,但不是证明不可能性,而是证明某种可能性。而且,我们使用的不是双方块,而是L形的三方块。
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1700996919 因为64不是3的倍数,全部使用三方块的话是无法覆盖8×8棋盘的。但是,如果在棋盘上放一个1×1方块,那么无论这个1×1方块放在棋盘的什么位置,我们都可以用三方块覆盖棋盘的剩余面积。而且,这个命题不仅在棋盘的规格是8×8时为真,对于2×2、4×4、16×16的棋盘,该命题同样成立。
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1700996921 定理:对于所有的n≥1,都可以用三方块和一个1×1方块完全覆盖规格为2n×2n的棋盘,而且1×1方块可以放置在棋盘的任何位置上。
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1700996923 证明:当n= 1时,定理成立,因为任何一个2×2的棋盘都可以用一个三方块和一个1×1方块来覆盖,而且1×1方块可以摆放在棋盘的任何位置上。接下来,假设当n=k时(即棋盘大小为2k×2k时)定理也成立。我们需要完成的任务是证明在棋盘大小为2k+1×2k+1时,该定理仍然成立。如下图所示,将1×1方块摆放在棋盘的任意位置上,然后将棋盘分成四等分。
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1700996928 用三方块覆盖棋盘
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1700996931 由于放有1×1方块的那一等分的大小为2k×2k,因此,它可以被三方块完全覆盖(根据假设,当n=k时,定理成立)。接下来,我们在棋盘的中心位置放一个三方块,让它与其余三个等分相交。这三个等分的大小分别为2k×2k,且其中有一个1×1方格已经被覆盖了,所以用三方块可以完全覆盖住它们。因此,在棋盘大小为2k+1×2k+1时,定理仍然成立。
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1700996933 本节最后证明的等式有很多重要应用,我们将用归纳证明法和其他几种不同方法予以证明。这个令人感兴趣的问题是:如果从20= 1开始,将2的前n次方相加,和是多少?下面是排在前几位的2的幂次方:
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1700996935 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1 024…
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1700996937 将它们加到一起,就会得到:
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1700996942 大家看出其中的规律了吗?所有的和都比2的更高次幂小1。
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1700996944 定理:对于n≥1,
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1700996946 1 + 2 + 4 + 8 +… + 2n–1= 2n– 1
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