打字猴:1.700997098e+09
1700997098 28 = 4×7
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1700997100 496 = 16×31
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1700997102 8 128 = 64×127
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1700997104 看出其中的规律了吗?被乘数是2的幂次方,乘数是比被乘数的2倍小1的质数。(因此,在上述算式中我们没有看到8×15或者32×63,因为15和63都不是质数。)我们可以用下面这条定理对这个规律加以概括。
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1700997106 定理:如果2n–1是质数,那么2n–1×(2n–1)是完全数。
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1700997108 延伸阅读
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1700997110 证明:令p= 2n–1,p是质数,我们的目标是证明2n–1p是完全数。2n–1p的真约数有哪些呢?不含p的约数只有1,2,4,8,…,2n–1,它们的和为2n– 1=p。其他约数(不包括2n–1p)则都包含p,这些约数的和为p(1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n–2) =p(2n–1– 1)。因此,所有真约数的和为:
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1700997112 p+p(2n–1– 1) =p[1 + (2n–1– 1)] = 2n–1p
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1700997114 证明完毕。 □
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1700997116 伟大的数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler,1707—1783)证明了所有完全数都是偶数。在我创作本书的时候,人们已经发现了48个完全数,而且全部是偶数。是否存在完全奇数呢?目前,还没有人知道这个问题的答案。有人认为,如果完全奇数真的存在,它们的位数将超过300。不过,还没有人证明完全奇数肯定不存在。
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1700997118 关于质数,有很多表述简单但却悬而未决的问题。前面已经说过,关于斐波那契数列中的质数是否有无穷多个的问题,现在还没有答案。[已经有人证明斐波那契数列中只有两个完全平方数(1和144)和两个完全立方数(1和8)。]还有一个未解难题被称为“哥德巴赫猜想”(Goldbach’s conjecture),即所有大于2的偶数都是两个质数之和。目前没有人可以证明这个猜想,但是有人证明,如果有反例存在,那么这个数字至少是19位数。[不久前,人们在一个比较相似的问题上取得了突破。2013年,法国数学家哈罗德·贺夫高特(Harald Helfgott)证明了所有大于7的奇数都至多是三个奇质数之和。]最后再介绍一个未解难题。我们把差为2的两个质数定义为“孪生质数”(twin primes)。排在前面的几对孪生质数分别是3和5,5和7,11和13,17和19,29和31,等等。你知道为什么3、5、7是唯一的“质数三胞胎”吗?尽管已经有人证明末位数是1(或者3、7、9)的质数有无穷多个[古斯塔夫·狄利克雷(Gustav Dirichlet)提出的一个命题的特例],但孪生质数是否有无穷多对的问题仍未找到答案。
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1700997120 在结束本章之前,我们来看一个有点儿可疑的证明,但是我希望大家能相信这个命题。
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1700997122 命题:所有正整数都值得关注!
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1700997125 证明:人们一致认为前几个正整数值得关注。例如,1是第一个正整数,2是第一个偶数,3是第一个奇数,4是唯一一个名副其实的数字(它的英文单词“FOUR”正好有4个字母)。我们反过来假设有的正整数不值得关注,那么必然有第一个不值得关注的正整数,我们把它记作N。但是,作为第一个不值得关注的正整数,N必然因此引起关注!因此,不值得我们关注的正整数是不存在的!
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1700997130 12堂魔力数学课 [:1700993740]
1700997131 12堂魔力数学课 第7章 开脑洞的几何学
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1700997139 12堂魔力数学课 [:1700993741]
1700997140 12堂魔力数学课 答案出人意料的小测试
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1700997142 我先向大家介绍一个可以作为魔术表演素材的几何问题,请在一张纸上完成以下步骤:
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1700997144 第一步:画一个四边形。4条边不得交叉,并按顺时针方向将4个角分别标记为A、B、C和D(参见下图)。
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