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28 = 4×7
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496 = 16×31
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8 128 = 64×127
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看出其中的规律了吗？被乘数是2的幂次方，乘数是比被乘数的2倍小1的质数。（因此，在上述算式中我们没有看到8×15或者32×63，因为15和63都不是质数。）我们可以用下面这条定理对这个规律加以概括。
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定理：如果2n–1是质数，那么2n–1×(2n–1)是完全数。
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延伸阅读
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证明：令p= 2n–1，p是质数，我们的目标是证明2n–1p是完全数。2n–1p的真约数有哪些呢？不含p的约数只有1，2，4，8，…，2n–1，它们的和为2n– 1=p。其他约数（不包括2n–1p）则都包含p，这些约数的和为p(1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n–2) =p(2n–1– 1)。因此，所有真约数的和为:
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p+p(2n–1– 1) =p［1 + (2n–1– 1)］ = 2n–1p
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证明完毕。 □
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伟大的数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）证明了所有完全数都是偶数。在我创作本书的时候，人们已经发现了48个完全数，而且全部是偶数。是否存在完全奇数呢？目前，还没有人知道这个问题的答案。有人认为，如果完全奇数真的存在，它们的位数将超过300。不过，还没有人证明完全奇数肯定不存在。
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关于质数，有很多表述简单但却悬而未决的问题。前面已经说过，关于斐波那契数列中的质数是否有无穷多个的问题，现在还没有答案。［已经有人证明斐波那契数列中只有两个完全平方数（1和144）和两个完全立方数（1和8）。］还有一个未解难题被称为“哥德巴赫猜想”（Goldbach’s conjecture），即所有大于2的偶数都是两个质数之和。目前没有人可以证明这个猜想，但是有人证明，如果有反例存在，那么这个数字至少是19位数。［不久前，人们在一个比较相似的问题上取得了突破。2013年，法国数学家哈罗德·贺夫高特（Harald Helfgott）证明了所有大于7的奇数都至多是三个奇质数之和。］最后再介绍一个未解难题。我们把差为2的两个质数定义为“孪生质数”（twin primes）。排在前面的几对孪生质数分别是3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，等等。你知道为什么3、5、7是唯一的“质数三胞胎”吗？尽管已经有人证明末位数是1（或者3、7、9）的质数有无穷多个［古斯塔夫·狄利克雷（Gustav Dirichlet）提出的一个命题的特例］，但孪生质数是否有无穷多对的问题仍未找到答案。
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在结束本章之前，我们来看一个有点儿可疑的证明，但是我希望大家能相信这个命题。
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命题：所有正整数都值得关注！
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证明：人们一致认为前几个正整数值得关注。例如，1是第一个正整数，2是第一个偶数，3是第一个奇数，4是唯一一个名副其实的数字（它的英文单词“FOUR”正好有4个字母）。我们反过来假设有的正整数不值得关注，那么必然有第一个不值得关注的正整数，我们把它记作N。但是，作为第一个不值得关注的正整数，N必然因此引起关注！因此，不值得我们关注的正整数是不存在的！
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12堂魔力数学课 [:1700993740]
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12堂魔力数学课 第7章 开脑洞的几何学
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12堂魔力数学课 [:1700993741]
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12堂魔力数学课 答案出人意料的小测试
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我先向大家介绍一个可以作为魔术表演素材的几何问题，请在一张纸上完成以下步骤：
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第一步：画一个四边形。4条边不得交叉，并按顺时针方向将4个角分别标记为A、B、C和D（参见下图）。
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