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问题3:上图中,要使三个点构成的三角形面积最大,应选择哪个点?
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A)点A。
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B)点B。
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C)尽可能地远离X和Y。
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D)位置无所谓,因为所有三角形的面积都相同。
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问题4:橄榄球场上两个球门之间的距离是360英尺。一条长为360英尺的绳子两端分别系在两个球门柱根部。如果绳子增加1英尺,那么球场正中间处的绳子可以抬到多高?
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A)离地面的高度不到1英寸[2]。
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B)其高度正好可以让人从下面爬过去。
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C)其高度正好可以让人从下面走过去。
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D)其高度足以通过一辆卡车。
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长为361英尺的绳子两端分别系在相距360英尺的两个球门柱根部,球场中间的绳子可以抬到多高?
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下面给出了这4个问题的答案。我认为前两个问题的答案十分直观,而后两个则会让大多数人大吃一惊。在本章的后半部分,我会对这些答案一一做出解释。
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问题1答案:A。周长一定时,要使矩形面积最大,各条边的长度应该相等。因此,最佳选择是正方形。
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问题2答案:A。选择位于X和Y中点正上方的点A,三点构成的三角形XAY的周长最小。
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问题3答案:D。所有三角形的面积都相同。
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问题4答案:D。球场正中间的绳子可以抬至离地面13英尺处,足够大多数卡车从下方通过。
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借助简单的代数运算,就可以解释问题1的答案。如果矩形上下两条边的长度为b,左右两条边的长度为h,它的周长就是2b+ 2h,也就是4条边的边长之和。面积表示由4条边围成的图形大小,为bh。(我们在后文中将详细讨论图形的面积。)由于周长必须是52英尺,因此2b+ 2h= 52,也就是说:
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b+h= 26
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既然h= 26 –b,那么我们希望得到的最大面积bh等于:
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b(26 –h) = 26b–b2
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b取何值才能使上面这个等式的值最大呢?利用本书第11章介绍的微积分知识,我们很容易就能找到答案。但是,利用第2章介绍的完全平方数,也能算出b的值。b的值有了之后,就可以算出矩形的面积是:
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26b–b2= 169 – (b2– 26b+ 169) = 169 – (b– 13)2
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当b= 13时,矩形的面积是169 – 02= 169。当b≠13时,矩形的面积为:
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169 – (某个不为0的数)2
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