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我们接下来的任务是证明任意三角形的内角和为180°。在开始证明之前，我先介绍平行线的几条属性。如果两条直线永远不会相交，我们就说它们相互平行。（记住，直线的两端可以无限延伸。）下图所示的是两条平行线l1和l2，第三条直线l3不与它们平行，而与它们分别交于点P和点Q。仔细观察就会发现，直线l3与直线l1、l2形成的角的度数相同。也就是说，我们认为a=e。我们把角a与角e称作“同位角”。（角b和角f、角c和角g、角d和角h也互为同位角。）同位角看起来显然度数相等，但根据欧几里得的五大公理，我们却无法加以证明。因此，我们需要一条新公理。
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同位角的度数相等。在图中，a=e，b=f，c=g，d=h
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同位角公理：同位角的度数相等。
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结合同位角公理和对顶角定理，我们知道在上图中：
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a=c=g=e
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b=d=h=f
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很多书都为相等的两个角赋予了特殊的名称，例如，形成Z字形的角a与角g被称为“内错角”。至此，我们已经证明任意角都与它的对顶角、同位角和内错角的度数相等。接下来，我们利用这个结果证明几何学的一个基本定理。
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定理：任意三角形的内角和都是180°。
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证明：观察下图所示三角形ABC，它的三个内角分别是角a、角b和角c。过点B画一条直线，并使它与经过点A、点C的直线平行。
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为什么a+b+c=180°呢？
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角d、角b和角e形成一条直线，因此d+b+e= 180°。角a与角d是内错角，角c与角e也是内错角，因此d=a，e=c，a+b+c=180°。证明完毕。 □
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延伸阅读
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“三角形内角和为180°”是平面几何的一个重要定理，但在其他几何学中未必成立。例如，假设我们在地球上画一个三角形。从北极开始，沿着任意经线到达赤道，然后向右，跨越1/4个地球后再向右转，最终回到北极。这个三角形其实包含三个直角，内角和为270°。在球面几何中，三角形的内角和不是固定值，而与三角形的面积直接相关。
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在几何教学活动中，学生们经常需要证明两个不同的图形是全等的。如果一个几何图形经过平移、旋转或翻转后可以得到另一个图形，我们就说这两个图形是全等的。例如，下图中的三角形ABC和三角形DEF就是全等三角形，因为通过平移，三角形DEF恰好可以与三角形ABC完全重合。本书中的图形，如果两条边（或两个角）上有同等数量的短线标记，就表明它们的长度（或角度）相同。
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全等三角形
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我们用符号表示全等，例如，△ABC△DEF的意思是，这两个三角形的边长和角度完全相同。具体来说，AB、BC、CA分别等于DE、EF、FD，角A、角B、角C的度数分别与角D、角E、角F相等。我们在上图中相等的角上标记了相同的符号，相等的边也做了同样的处理。
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一旦知道某些边和角相等之后，我们就会知道其余的边和角肯定也相等。例如，如果你知道两个三角形的三对边都相等，有两对角也相等（比如，∠A= ∠D，∠B= ∠E），那么第三对角必然相等，它们是全等三角形。如果知道有两对边的边长相等，比如AB=DE，AC=DF，而且这两条边的夹角也相等，在这个例子中就是∠A= ∠D，就必然存在以下关系：BC=EF，∠B= ∠E，∠C= ∠F。我们把它称作SAS公理，SAS代表“边—角—边”。
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SAS公理不是定理，因为我们不能用已有的公理对其进行证明。但是，一旦我们接受这条公理，我们就可以对SSS（边—边—边）、ASA（角—边—角）、AAS（角—角—边）等重要定理做出严谨的证明。要确保全等，相等的那个角就必须是两对相等的边的夹角，因此我们不能推导出所谓的“SSA定理”。SSS定理非常有意思：如果两个三角形的三条边相等，那么它们的三个角也相等。
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接下来，我们用SAS公理来证明非常重要的等腰三角形定理。如果某个三角形有两条边相等，我们就说它是一个“等腰三角形”。既然说到等腰三角形，我再向大家介绍其他几种三角形。三条边都相等的三角形叫作“等边三角形”。有一个角为90°的三角形叫作“直角三角形”。如果三个内角都小于90°，这个三角形就是“锐角三角形”。如果有一个内角大于90°，我们就称它为“钝角三角形”。
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