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“三角形内角和为180°”是平面几何的一个重要定理,但在其他几何学中未必成立。例如,假设我们在地球上画一个三角形。从北极开始,沿着任意经线到达赤道,然后向右,跨越1/4个地球后再向右转,最终回到北极。这个三角形其实包含三个直角,内角和为270°。在球面几何中,三角形的内角和不是固定值,而与三角形的面积直接相关。
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在几何教学活动中,学生们经常需要证明两个不同的图形是全等的。如果一个几何图形经过平移、旋转或翻转后可以得到另一个图形,我们就说这两个图形是全等的。例如,下图中的三角形ABC和三角形DEF就是全等三角形,因为通过平移,三角形DEF恰好可以与三角形ABC完全重合。本书中的图形,如果两条边(或两个角)上有同等数量的短线标记,就表明它们的长度(或角度)相同。
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全等三角形
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我们用符号表示全等,例如,△ABC△DEF的意思是,这两个三角形的边长和角度完全相同。具体来说,AB、BC、CA分别等于DE、EF、FD,角A、角B、角C的度数分别与角D、角E、角F相等。我们在上图中相等的角上标记了相同的符号,相等的边也做了同样的处理。
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一旦知道某些边和角相等之后,我们就会知道其余的边和角肯定也相等。例如,如果你知道两个三角形的三对边都相等,有两对角也相等(比如,∠A= ∠D,∠B= ∠E),那么第三对角必然相等,它们是全等三角形。如果知道有两对边的边长相等,比如AB=DE,AC=DF,而且这两条边的夹角也相等,在这个例子中就是∠A= ∠D,就必然存在以下关系:BC=EF,∠B= ∠E,∠C= ∠F。我们把它称作SAS公理,SAS代表“边—角—边”。
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SAS公理不是定理,因为我们不能用已有的公理对其进行证明。但是,一旦我们接受这条公理,我们就可以对SSS(边—边—边)、ASA(角—边—角)、AAS(角—角—边)等重要定理做出严谨的证明。要确保全等,相等的那个角就必须是两对相等的边的夹角,因此我们不能推导出所谓的“SSA定理”。SSS定理非常有意思:如果两个三角形的三条边相等,那么它们的三个角也相等。
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接下来,我们用SAS公理来证明非常重要的等腰三角形定理。如果某个三角形有两条边相等,我们就说它是一个“等腰三角形”。既然说到等腰三角形,我再向大家介绍其他几种三角形。三条边都相等的三角形叫作“等边三角形”。有一个角为90°的三角形叫作“直角三角形”。如果三个内角都小于90°,这个三角形就是“锐角三角形”。如果有一个内角大于90°,我们就称它为“钝角三角形”。
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等边三角形,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形
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等腰三角形定理:如果等腰三角形ABC的边长AB=AC,那么这两条边所对的角一定相等。
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等腰三角形定理:如果AB=AC,那么 ∠B= ∠C
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证明:如图所示,从A处画一条直线平分 ∠A(这条直线叫作“角平分线”),与交于点X。
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证明等腰三角形定理时,先画出角平分线,然后利用SAS公理证明两个小三角形全等
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我们认为BAX与CAX是全等三角形,这是因为BA=CA(ABC是等腰三角形),∠BAX= ∠CAX(AX是角平分线),且AX=AX(这不是输入错误。是两个小三角形的公共边,长度必然相同)。因此,根据SAS公理,这两个小三角形是全等的。由于△BAX△CAX,因此其余的边和角也必然相等,即∠B= ∠C。证明完毕。 □
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