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“三角形内角和为180°”是平面几何的一个重要定理，但在其他几何学中未必成立。例如，假设我们在地球上画一个三角形。从北极开始，沿着任意经线到达赤道，然后向右，跨越1/4个地球后再向右转，最终回到北极。这个三角形其实包含三个直角，内角和为270°。在球面几何中，三角形的内角和不是固定值，而与三角形的面积直接相关。
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在几何教学活动中，学生们经常需要证明两个不同的图形是全等的。如果一个几何图形经过平移、旋转或翻转后可以得到另一个图形，我们就说这两个图形是全等的。例如，下图中的三角形ABC和三角形DEF就是全等三角形，因为通过平移，三角形DEF恰好可以与三角形ABC完全重合。本书中的图形，如果两条边（或两个角）上有同等数量的短线标记，就表明它们的长度（或角度）相同。
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全等三角形
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我们用符号表示全等，例如，△ABC△DEF的意思是，这两个三角形的边长和角度完全相同。具体来说，AB、BC、CA分别等于DE、EF、FD，角A、角B、角C的度数分别与角D、角E、角F相等。我们在上图中相等的角上标记了相同的符号，相等的边也做了同样的处理。
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一旦知道某些边和角相等之后，我们就会知道其余的边和角肯定也相等。例如，如果你知道两个三角形的三对边都相等，有两对角也相等（比如，∠A= ∠D，∠B= ∠E），那么第三对角必然相等，它们是全等三角形。如果知道有两对边的边长相等，比如AB=DE，AC=DF，而且这两条边的夹角也相等，在这个例子中就是∠A= ∠D，就必然存在以下关系：BC=EF，∠B= ∠E，∠C= ∠F。我们把它称作SAS公理，SAS代表“边—角—边”。
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SAS公理不是定理，因为我们不能用已有的公理对其进行证明。但是，一旦我们接受这条公理，我们就可以对SSS（边—边—边）、ASA（角—边—角）、AAS（角—角—边）等重要定理做出严谨的证明。要确保全等，相等的那个角就必须是两对相等的边的夹角，因此我们不能推导出所谓的“SSA定理”。SSS定理非常有意思：如果两个三角形的三条边相等，那么它们的三个角也相等。
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接下来，我们用SAS公理来证明非常重要的等腰三角形定理。如果某个三角形有两条边相等，我们就说它是一个“等腰三角形”。既然说到等腰三角形，我再向大家介绍其他几种三角形。三条边都相等的三角形叫作“等边三角形”。有一个角为90°的三角形叫作“直角三角形”。如果三个内角都小于90°，这个三角形就是“锐角三角形”。如果有一个内角大于90°，我们就称它为“钝角三角形”。
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等边三角形，锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
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等腰三角形定理：如果等腰三角形ABC的边长AB=AC，那么这两条边所对的角一定相等。
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等腰三角形定理：如果AB=AC，那么 ∠B= ∠C
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证明：如图所示，从A处画一条直线平分 ∠A（这条直线叫作“角平分线”），与交于点X。
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证明等腰三角形定理时，先画出角平分线，然后利用SAS公理证明两个小三角形全等
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我们认为BAX与CAX是全等三角形，这是因为BA=CA（ABC是等腰三角形），∠BAX= ∠CAX（AX是角平分线），且AX=AX（这不是输入错误。是两个小三角形的公共边，长度必然相同）。因此，根据SAS公理，这两个小三角形是全等的。由于△BAX△CAX，因此其余的边和角也必然相等，即∠B= ∠C。证明完毕。 □
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