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利用SSS定理也可以证明等腰三角形定理。先取的中点M,令BM=MC,再画出线段。由于BA=CA(等腰三角形),AM=AM,MB=MC(M为中点),因此,根据SSS定理,△BAM△CAM,它们的角也都相等,即∠B= ∠C。
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两个三角形全等,说明 ∠BAM= ∠CAM,因此也是角平分线。此外,由于∠BMA= ∠CMA,而且它们的和是180°,因此它们都等于90°。也就是说,在等腰三角形中,A的角平分线也是的“垂直平分线”。
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顺便告诉大家,等腰三角形定理的逆命题也是正确的:如果 ∠B= ∠C,那么AB=AC。证明过程是:从A画一条角平分线至点X。由于∠B= ∠C(条件),∠BAX= ∠CAX(角平分线),AX=AX,因此根据AAS定理,我们断定 △BAX△CAX。由此可知,AB=AC,ABC是等腰三角形。
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等边三角形的所有边都相等,因此等腰三角形定理适用于等边三角形,从而证明等边三角形的三个内角都相等。由于三角形的内角和是180°,因此我们可以得出下面的推论。
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推论:等边三角形的三个内角都是60°。
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根据SSS定理,如果两个三角形ABC和DEF的三对边都相等(AB=DE,BC=EF,CA=FD),那么它们的内角肯定也相等(∠A= ∠D,∠B= ∠E,∠C= ∠F)。它的逆命题也成立吗?如果三角形ABC和DEF的三对角都相等,那么它们的三对边也都相等吗?如下图所示,答案显然是否定的。
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相似三角形的内角相等,边长成比例关系
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内角度数对应相等的三角形叫作“相似三角形”。如果三角形ABC和DEF相似(记作△ABC△DEF,或者是ABCDEF),那么∠A= ∠D,∠B= ∠E,∠C= ∠F。从本质上看,如果两个三角形相似,那么一个三角形是另一个三角形的缩小版。因此,如果△ABC△DEF,那么其对应边长成比例关系,比例因子为正数k。也就是说,DE=kAB,EF=kBC,FD=kCA。
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接下来,我们用这些知识来解答本章开头小测试中的问题2。假设有两条平行线,下方那条直线上有一个线段。我们需要完成的任务是在上方那条直线上找到点P,使三角形XYP的周长最小。
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定理:上方直线上的点P位于中点正上方时,三角形XYP的周长最小。
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尽管微积分可以帮助我们解决这个问题,但是过程比较复杂,若利用“映像”原理,我们就可以轻轻松松地找出正确答案。(后面的证明非常有意思,但是过程比较长,大家阅读时可以浏览一下,也可以跳过不读。)
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证明:假设P是上方直线上的任意一点,Z为上方直线上的一个固定点,且点Z位于点Y的正上方。(更精确的说法是:垂直于上下两条直线且与上方直线交于点Z,如下图所示。)Y’位于的延长线上,且Y’Z=ZY。换句话说,上方那条直线就像一面大镜子,Y’是Y经过点Z形成的映像。
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我断定PZY和PZY’是全等三角形,因为PZ=PZ,∠PZY= 90°= ∠PZY’,ZY=ZY‘,因此,根据SAS定理,两个三角形全等,PY=PY‘。
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由于三角形PZY和PZY‘全等(SAS定理),因此必然有PY=PY’
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三角形YXP的周长是三个边长之和:
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YX+XP+PY
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我们已经证明PY=PY’,因此三角形周长也等于:
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