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证明：如图所示，从A处画一条直线平分 ∠A（这条直线叫作“角平分线”），与交于点X。
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证明等腰三角形定理时，先画出角平分线，然后利用SAS公理证明两个小三角形全等
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我们认为BAX与CAX是全等三角形，这是因为BA=CA（ABC是等腰三角形），∠BAX= ∠CAX（AX是角平分线），且AX=AX（这不是输入错误。是两个小三角形的公共边，长度必然相同）。因此，根据SAS公理，这两个小三角形是全等的。由于△BAX△CAX，因此其余的边和角也必然相等，即∠B= ∠C。证明完毕。 □
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延伸阅读
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利用SSS定理也可以证明等腰三角形定理。先取的中点M，令BM=MC，再画出线段。由于BA=CA（等腰三角形），AM=AM，MB=MC（M为中点），因此，根据SSS定理，△BAM△CAM，它们的角也都相等，即∠B= ∠C。
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两个三角形全等，说明 ∠BAM= ∠CAM，因此也是角平分线。此外，由于∠BMA= ∠CMA，而且它们的和是180°，因此它们都等于90°。也就是说，在等腰三角形中，A的角平分线也是的“垂直平分线”。
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顺便告诉大家，等腰三角形定理的逆命题也是正确的：如果 ∠B= ∠C，那么AB=AC。证明过程是：从A画一条角平分线至点X。由于∠B= ∠C（条件），∠BAX= ∠CAX（角平分线），AX=AX，因此根据AAS定理，我们断定 △BAX△CAX。由此可知，AB=AC，ABC是等腰三角形。
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等边三角形的所有边都相等，因此等腰三角形定理适用于等边三角形，从而证明等边三角形的三个内角都相等。由于三角形的内角和是180°，因此我们可以得出下面的推论。
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推论：等边三角形的三个内角都是60°。
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根据SSS定理，如果两个三角形ABC和DEF的三对边都相等（AB=DE，BC=EF，CA=FD），那么它们的内角肯定也相等（∠A= ∠D，∠B= ∠E，∠C= ∠F）。它的逆命题也成立吗？如果三角形ABC和DEF的三对角都相等，那么它们的三对边也都相等吗？如下图所示，答案显然是否定的。
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相似三角形的内角相等，边长成比例关系
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内角度数对应相等的三角形叫作“相似三角形”。如果三角形ABC和DEF相似（记作△ABC△DEF，或者是ABCDEF），那么∠A= ∠D，∠B= ∠E，∠C= ∠F。从本质上看，如果两个三角形相似，那么一个三角形是另一个三角形的缩小版。因此，如果△ABC△DEF，那么其对应边长成比例关系，比例因子为正数k。也就是说，DE=kAB，EF=kBC，FD=kCA。
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接下来，我们用这些知识来解答本章开头小测试中的问题2。假设有两条平行线，下方那条直线上有一个线段。我们需要完成的任务是在上方那条直线上找到点P，使三角形XYP的周长最小。
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定理：上方直线上的点P位于中点正上方时，三角形XYP的周长最小。
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尽管微积分可以帮助我们解决这个问题，但是过程比较复杂，若利用“映像”原理，我们就可以轻轻松松地找出正确答案。（后面的证明非常有意思，但是过程比较长，大家阅读时可以浏览一下，也可以跳过不读。）