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证明：假设P是上方直线上的任意一点，Z为上方直线上的一个固定点，且点Z位于点Y的正上方。（更精确的说法是：垂直于上下两条直线且与上方直线交于点Z，如下图所示。）Y’位于的延长线上，且Y’Z=ZY。换句话说，上方那条直线就像一面大镜子，Y’是Y经过点Z形成的映像。
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我断定PZY和PZY’是全等三角形，因为PZ=PZ，∠PZY= 90°= ∠PZY’，ZY=ZY‘，因此，根据SAS定理，两个三角形全等，PY=PY‘。
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由于三角形PZY和PZY‘全等（SAS定理），因此必然有PY=PY’
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三角形YXP的周长是三个边长之和：
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YX+XP+PY
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我们已经证明PY=PY’，因此三角形周长也等于：
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YX+XP+PY’
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因为边长YX与点P的位置无关，因此我们只需考虑XP+PY’的值最小时点P所在的位置。
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仔细观察就可以发现，线段和构成了由X至Y’的一条弯曲路径。由于两点之间直线距离最短，因此，从X至Y’画一条直线就可以确定点P的最佳位置点P*，即这条直线与上面那条直线的交点，如下图所示。但是，我们的任务还没有全部完成，因为我们还需要证明点P*位于中点的正上方。
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三角形MXP*和YXY’相似，二者的比例因子为2
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把P*正下方的那个点记作M，就有垂直于）。由于上下两条直线平行，因此P*M=ZY。（凭直觉可以得出这个结论，因为平行线之间的距离是一定的。也可以这样证明：画出线段，根据AAS定理可知三角形MYZ与ZP*M全等。）
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要证明M是的中点，我们先要证明三角形MXP*与YXY’相似。∠MXP*与∠YXY’是同一个角，∠P*MX与∠Y’YX都是直角，因此这两个角也是相等的。由于三角形内角和为180°，其中有两对角相等，那么第三对角也必然相等。这两个相似三角形的比例因子是多少呢？通过构造性证明法，可以得出：
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YY’=YZ+ZY’= 2YZ= 2MP*
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因此，比例因子为2。也就是说，XM是XY的1/2，M是的中点。
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所以，位于上方直线上且使三角形XYP的周长最小的点P*正好在中点的正上方。证明完毕。 □
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