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YX+XP+PY
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我们已经证明PY=PY’，因此三角形周长也等于：
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YX+XP+PY’
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因为边长YX与点P的位置无关，因此我们只需考虑XP+PY’的值最小时点P所在的位置。
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仔细观察就可以发现，线段和构成了由X至Y’的一条弯曲路径。由于两点之间直线距离最短，因此，从X至Y’画一条直线就可以确定点P的最佳位置点P*，即这条直线与上面那条直线的交点，如下图所示。但是，我们的任务还没有全部完成，因为我们还需要证明点P*位于中点的正上方。
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三角形MXP*和YXY’相似，二者的比例因子为2
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把P*正下方的那个点记作M，就有垂直于）。由于上下两条直线平行，因此P*M=ZY。（凭直觉可以得出这个结论，因为平行线之间的距离是一定的。也可以这样证明：画出线段，根据AAS定理可知三角形MYZ与ZP*M全等。）
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要证明M是的中点，我们先要证明三角形MXP*与YXY’相似。∠MXP*与∠YXY’是同一个角，∠P*MX与∠Y’YX都是直角，因此这两个角也是相等的。由于三角形内角和为180°，其中有两对角相等，那么第三对角也必然相等。这两个相似三角形的比例因子是多少呢？通过构造性证明法，可以得出：
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YY’=YZ+ZY’= 2YZ= 2MP*
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因此，比例因子为2。也就是说，XM是XY的1/2，M是的中点。
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所以，位于上方直线上且使三角形XYP的周长最小的点P*正好在中点的正上方。证明完毕。 □
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有时，我们也可以利用代数知识来解决几何问题。例如，假设平面上有线段，其中A的坐标是 (a1，a2)，B的坐标是(b1，b2)，M是的中点，如下图所示。那么，M的坐标为：
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例如，如果A= (1，2)，B= (3，4)，那么的中点M= [(1 + 3)/2,(2 + 4)/2] = ( 2, 3 )。
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取线段两个端点坐标的平均值，即可找到线段中点的坐标
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我们利用这个事实来证明三角形的一个重要属性。画一个三角形，然后用线段连接各边中点，其中有什么特点？下面这条定理给出了答案。