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任意四边形的内角和为360°
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下面我再介绍一条定理，就可以揭示其中的规律。
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定理：任意五边形的内角和为540°。
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证明：如下图所示，观察顶点为A、B、C、D、E的任意五边形。连接A和C，五边形就会被分割成一个三角形和一个四边形。我们知道，三角形ABC的内角和为180°，四边形ACDE的内角和为360°，因此，五边形的内角和为180°+ 360°= 540°。证明完毕。 □
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任意五边形的内角和为540°
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利用归纳性证明法计算n边形的内角和，或者通过连接A与其他顶点将n边形分割成n– 2个三角形，由此我们可以得出下面这条定理。
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定理：n边形的内角和为180(n– 2)°。
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这条定理有一个神奇的应用。画一个八边形，在其内部任意位置标记5个点。连接顶点和这5个点，使八边形内只包含三角形。（这项操作叫作“三角形分割”。）下面有三个八边形，前两个给出了不同的三角形分割方案，最后一个留给大家自己动手操作。
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在我给出的两个示例中，都包含16个三角形。你在第三个八边形里取5个点之后，无论这些点处于什么位置，只要你严格按照要求操作，最后都会得到16个三角形。（如果你没有得到16个三角形，那么请你仔细检查八边形内部，确保所有图形都只有三个顶点。如果某个图形看上去像三角形，但实际上是一个四边形，那么你必须在其中添加一个线段，将它分割成两个三角形。）其中的道理可用下面这条定理解释。
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定理：如果一个多边形有n条边，内部有p个点，利用这些边和点对该多边形进行三角形分割操作之后，得到的三角形数量一定是2p+n– 2个。
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在上例中，n= 8，p= 5，根据这个定理，得到的三角形数量必然是10 + 8 – 2 = 16个。
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证明：假设n边形经三角形分割操作后得到T个三角形。我们通过两种方法解答下面的统计问题，从而证明T= 2p+n– 2。
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问题：所有三角形的内角和是多少？
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答案1：由于一共有T个三角形，每个三角形的内角和为180°，因此所有三角形的内角和为180T°。
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答案2：分两种情况考虑。包围多边形内部各点的角必然绕该点一周，因此这些角的和是360p°。与此同时，我们知道n边形的内角和为180(n– 2)°，因此所有三角形的内角和为360p+ 180(n– 2)°。
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由于这两个答案相等，因此：
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180T= 360p+ 180 (n– 2)
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两边同时除以180，就会得到：
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T= 2p+n– 2
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证明完毕。
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