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由于这两个答案相等,因此:
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180T= 360p+ 180 (n– 2)
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两边同时除以180,就会得到:
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T= 2p+n– 2
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证明完毕。
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12堂魔力数学课 多边形的周长和面积
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多边形的周长是所有边长之和。例如,如果矩形的底边长度为b,高为h,它的周长就是2b+ 2h,这是因为这个矩形有两条长度为b的边和两条长度为h的边。那么,这个矩形的面积是多少呢?我们把1×1方格的面积(平方单位)定义为1。如下图所示,如果b和h是正整数,那么我们可以把这个图形分割成bh个1×1方格,因此它的面积是bh。一般来说,对于底边为b、高为h的任意矩形(其中b和h是正数,但不一定是整数),我们将它的面积定义为bh。
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底为b、高为h的矩形周长是2b+ 2h,面积是bh
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延伸阅读
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在本章中,我们一直在利用代数知识解释几何问题。不过,几何学有时候也可以帮助我们解释代数问题。思考一下这样一个代数问题:如果x可以取任意正数,那么x +1/x的最小值是多少?如果x= 1,上式就等于2;如果x= 1.25,上式就等于1.25 + 0.8 = 2.05;如果x= 2,得数就是2.5。这些数据似乎表明最小值是2,这个答案是正确的,但我们如何证明呢?在本书第11章中,我们可以通过微积分直截了当地解决这个问题。但是,只要动动脑筋,我们也可以借助简单的几何知识,轻轻松松地完成这项任务。
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下图是一个中间有空洞的正方形。整个图形由4个长方块拼成,每个长方块的边长分别为x和1/x。整个图形(包括中间的空洞)的面积是多少?
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一方面,由于该图形是边长为x+ 1/x的正方形,因此它的面积为 (x+ 1/x)2。另一方面,每个长方块的面积是1,这个图形的面积至少是4。也就是说:
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(x+ 1/x)2H 4
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从而得出x+ 1/xH 2。证明完毕。
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从矩形面积的计算方法,我们几乎可以推导出所有几何图形面积的计算方法。我们先来推导三角形面积的计算方法。
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定理:底为b、高为h的三角形的面积为bh。
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下图中的3个三角形的底都是b,高都是h,因此它们的面积相等。从本质上讲,这与本章开头小测试中的问题3相同。对于很多人来说,这是一个让他们吃惊的事实。
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