1700997530
1700997531
1700997532
1700997533
观察三角形ABC和ADC。根据三角形中点定理，我们发现与平行，与平行，因此与平行。（而且，与都是的一半，因此它们的长度相等。）同理，如果从B向D画一条对角线，就会发现与平行，且长度相等。因此，EFGH是平行四边形。
1700997534
1700997535
上面这些定理大多都是关于三角形的，实际上，几何学的很多内容都以三角形为研究对象。三角形是最简单的多边形，其次是四边形、五边形等。有n条边的多边形有时被称作“n边形”（n–gon）。我们已经证明三角形的内角和是180°，那么超过三条边的多边形的内角和是多少呢？正方形、矩形、平行四边形等四边形有4条边。矩形的4个内角都是90°，因此它的内角和必然是360°。下面这条定理对任意一个四边形来说都是正确的，你也可以说它是一条结论。
1700997536
1700997537
定理：任意四边形的内角和为360°。
1700997538
1700997539
证明：如图所示，取任意四边形，顶点分别为A、B、C、D。连接A、C两个顶点，该四边形就会被分割成两个三角形。这两个三角形的内角和均为180°，因此，该四边形的内角和为2×180°= 360°。 □
1700997540
1700997541
1700997542
1700997543
1700997544
任意四边形的内角和为360°
1700997545
1700997546
下面我再介绍一条定理，就可以揭示其中的规律。
1700997547
1700997548
定理：任意五边形的内角和为540°。
1700997549
1700997550
证明：如下图所示，观察顶点为A、B、C、D、E的任意五边形。连接A和C，五边形就会被分割成一个三角形和一个四边形。我们知道，三角形ABC的内角和为180°，四边形ACDE的内角和为360°，因此，五边形的内角和为180°+ 360°= 540°。证明完毕。 □
1700997551
1700997552
1700997553
1700997554
1700997555
任意五边形的内角和为540°
1700997556
1700997557
利用归纳性证明法计算n边形的内角和，或者通过连接A与其他顶点将n边形分割成n– 2个三角形，由此我们可以得出下面这条定理。
1700997558
1700997559
定理：n边形的内角和为180(n– 2)°。
1700997560
1700997561
这条定理有一个神奇的应用。画一个八边形，在其内部任意位置标记5个点。连接顶点和这5个点，使八边形内只包含三角形。（这项操作叫作“三角形分割”。）下面有三个八边形，前两个给出了不同的三角形分割方案，最后一个留给大家自己动手操作。
1700997562
1700997563
1700997564
1700997565
1700997566
在我给出的两个示例中，都包含16个三角形。你在第三个八边形里取5个点之后，无论这些点处于什么位置，只要你严格按照要求操作，最后都会得到16个三角形。（如果你没有得到16个三角形，那么请你仔细检查八边形内部，确保所有图形都只有三个顶点。如果某个图形看上去像三角形，但实际上是一个四边形，那么你必须在其中添加一个线段，将它分割成两个三角形。）其中的道理可用下面这条定理解释。
1700997567
1700997568
定理：如果一个多边形有n条边，内部有p个点，利用这些边和点对该多边形进行三角形分割操作之后，得到的三角形数量一定是2p+n– 2个。
1700997569
1700997570
在上例中，n= 8，p= 5，根据这个定理，得到的三角形数量必然是10 + 8 – 2 = 16个。
1700997571
1700997572
证明：假设n边形经三角形分割操作后得到T个三角形。我们通过两种方法解答下面的统计问题，从而证明T= 2p+n– 2。
1700997573
1700997574
问题：所有三角形的内角和是多少？
1700997575
1700997576
答案1：由于一共有T个三角形，每个三角形的内角和为180°，因此所有三角形的内角和为180T°。
1700997577
1700997578
答案2：分两种情况考虑。包围多边形内部各点的角必然绕该点一周，因此这些角的和是360p°。与此同时，我们知道n边形的内角和为180(n– 2)°，因此所有三角形的内角和为360p+ 180(n– 2)°。
1700997579