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观察三角形ABC和ADC。根据三角形中点定理,我们发现与平行,与平行,因此与平行。(而且,与都是的一半,因此它们的长度相等。)同理,如果从B向D画一条对角线,就会发现与平行,且长度相等。因此,EFGH是平行四边形。
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上面这些定理大多都是关于三角形的,实际上,几何学的很多内容都以三角形为研究对象。三角形是最简单的多边形,其次是四边形、五边形等。有n条边的多边形有时被称作“n边形”(n–gon)。我们已经证明三角形的内角和是180°,那么超过三条边的多边形的内角和是多少呢?正方形、矩形、平行四边形等四边形有4条边。矩形的4个内角都是90°,因此它的内角和必然是360°。下面这条定理对任意一个四边形来说都是正确的,你也可以说它是一条结论。
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定理:任意四边形的内角和为360°。
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证明:如图所示,取任意四边形,顶点分别为A、B、C、D。连接A、C两个顶点,该四边形就会被分割成两个三角形。这两个三角形的内角和均为180°,因此,该四边形的内角和为2×180°= 360°。 □
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任意四边形的内角和为360°
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下面我再介绍一条定理,就可以揭示其中的规律。
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定理:任意五边形的内角和为540°。
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证明:如下图所示,观察顶点为A、B、C、D、E的任意五边形。连接A和C,五边形就会被分割成一个三角形和一个四边形。我们知道,三角形ABC的内角和为180°,四边形ACDE的内角和为360°,因此,五边形的内角和为180°+ 360°= 540°。证明完毕。 □
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任意五边形的内角和为540°
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利用归纳性证明法计算n边形的内角和,或者通过连接A与其他顶点将n边形分割成n– 2个三角形,由此我们可以得出下面这条定理。
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定理:n边形的内角和为180(n– 2)°。
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这条定理有一个神奇的应用。画一个八边形,在其内部任意位置标记5个点。连接顶点和这5个点,使八边形内只包含三角形。(这项操作叫作“三角形分割”。)下面有三个八边形,前两个给出了不同的三角形分割方案,最后一个留给大家自己动手操作。
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在我给出的两个示例中,都包含16个三角形。你在第三个八边形里取5个点之后,无论这些点处于什么位置,只要你严格按照要求操作,最后都会得到16个三角形。(如果你没有得到16个三角形,那么请你仔细检查八边形内部,确保所有图形都只有三个顶点。如果某个图形看上去像三角形,但实际上是一个四边形,那么你必须在其中添加一个线段,将它分割成两个三角形。)其中的道理可用下面这条定理解释。
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定理:如果一个多边形有n条边,内部有p个点,利用这些边和点对该多边形进行三角形分割操作之后,得到的三角形数量一定是2p+n– 2个。
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在上例中,n= 8,p= 5,根据这个定理,得到的三角形数量必然是10 + 8 – 2 = 16个。
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证明:假设n边形经三角形分割操作后得到T个三角形。我们通过两种方法解答下面的统计问题,从而证明T= 2p+n– 2。
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问题:所有三角形的内角和是多少?
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答案1:由于一共有T个三角形,每个三角形的内角和为180°,因此所有三角形的内角和为180T°。
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答案2:分两种情况考虑。包围多边形内部各点的角必然绕该点一周,因此这些角的和是360p°。与此同时,我们知道n边形的内角和为180(n– 2)°,因此所有三角形的内角和为360p+ 180(n– 2)°。
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