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注意,当a=b=r时,上式就会变成π( 6r–) =2πr,与圆的周长计算公式不谋而合。
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在三维物体中也能发现π的身影。以圆柱体(例如,一盒罐头)为例。半径为r、高为h的圆柱体体积(即该物体所占空间大小)是:
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V圆柱体= πr2h
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这个公式显然是成立的,因为我们可以把圆柱体看作由面积为πr2的圆不停叠加(就像饭店经常把圆形杯垫叠放成一摞)形成的高为h的物体。
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那么,圆柱体的表面积怎么计算呢?换句话说,把圆柱体的表面(包括顶面和底面)刷上油漆,需要多少呢?这个答案无须记忆,因为把圆柱体分成三个部分,就可以轻松地找到答案。顶面和底面的面积都是πr2,加起来就是2πr2。在求剩下部分的面积之前,我们将圆柱体从上向下切开,展开后就会得到一个底为2πr、高为h的矩形。也就是说,圆柱体的侧面面积就是这个矩形的面积,即2πrh。因此,圆柱体的表面积为:
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A圆柱体= 2πr2+ 2πrh
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球体是一个三维物体,球面上的所有点到球心的距离都相等。半径为r的球体体积是多少呢?这样的球体可以被装进半径为r、高为2r的圆柱体之中,因此它的体积必然小于πr2(2r) = 2πr3。运气好的话,你会发现它正好是圆柱体体积的2/3(当然,微积分也可以帮你找到这个答案)。换句话说,球体的体积是:
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V球体=πr3
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球体的表面积计算公式非常简单,不过推导过程却非常复杂:
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A球体= 4πr2
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接下来,我要告诉你们,在冰激凌和比萨饼中也能找到π。想象你的手里正拿着一个圆筒冰激凌,它的高是h,顶部的那个圆的半径是r。如下图所示,令圆筒的尖头到该圆上任意一点的“斜高”(slant height)为s。(根据勾股定理,可以算出s的值,因为h2+r2=s2。)
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圆锥体的体积是πr2h/3,表面积是πrs
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这样的圆锥体可以被放到半径为r、高为h的圆柱体里面,因此,它的体积小于πr2h并不是一件奇怪的事。但是,如果我说它的体积正好是圆柱体体积的1/3,大家肯定会感到吃惊(不借助微积分的话,我们凭直觉无法发现这个秘密)。换句话说:
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V圆锥体=πr2h
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尽管不使用微积分也可以推导出圆锥体的表面积计算公式,但我还是直接把这个公式介绍给大家,让大家尽情领略其简约之美吧:
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A圆锥体= πrs
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最后,我送给大家一个美味的比萨饼。如图所示,它的半径是z,厚度是a,请问它的体积是多少?
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半径是z、厚度是a的比萨饼体积是多少?
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这个比萨饼可以被视为一个比较少见的圆柱体,半径为z,高度为a,因此它的体积是:
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