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随着等分的数量不断增加，每等分的形状与高为r的三角形越来越接近。将下半个圆分割而成的这些“三角形”（仿佛一排石笋）与上半个圆分割而成的“三角形”（像一排钟乳石）穿插在一起，形成的图形与矩形十分接近。矩形的高为r，底等于周长的1/2，即πr。（为了让最后的图形更像矩形，而不是平行四边形，我们将最左边的“钟乳石”分成两半，将其中一半移到最右边。）等分数越多，最后得到的图形就越接近矩形，因此圆的面积是：
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bh =(πr) (r) = πr2
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证明完毕。
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我们经常需要描述圆的平面坐标图。如下图所示，以 ( 0, 0 ) 为圆心、以r为半径的圆可以用方程式
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x2+y2=r2
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来表示。为什么呢？我们令 (x,y) 为圆上的任意一点，然后画一个直角边长为x和y、斜边长为r的三角形。根据勾股定理，我们知道x2+y2=r2。
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以 (0,0) 为圆心、以r为半径的圆的方程式为x2+y2=r2，面积为πr2
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当r= 1时，上图这个圆被称为“单位圆”（unit circle）。如下图所示，我们拉伸单位圆，使它在水平方向和垂直方向上分别变为原来的a倍和b倍，就会得到椭圆。
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椭圆的面积为πab
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椭圆的方程式为：
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+= 1
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由于单位圆的面积是π，椭圆是单位圆拉伸ab倍后的结果，因此它的面积是πab。注意，当a=b=r时，所得到的图形就是半径为r的圆。根据椭圆的面积公式πab，我们可以算出圆的面积，即πr2。
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下面向大家介绍椭圆的几个有趣的属性。利用两枚大头针、一个线圈和一支铅笔，就可以画出椭圆。首先，将两枚大头针钉在纸上或硬纸板上，然后将线的两头固定在大头针上，不要绷得太紧。如下图所示，将铅笔放到线圈的某个位置上并拉紧线圈，形成一个三角形，然后让铅笔运动一周。在运动的过程中，铅笔要始终拉紧线圈。最终得到的图形就是一个椭圆。
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椭圆的焦点，即两枚大头针所在的两个点，具有非常神奇的特性。如果你将一个弹珠或台球放在其中一个焦点上，然后朝任意方向击打它。这个弹珠或台球在椭圆上反弹一次之后，运动方向就会朝向椭圆的另一个焦点。
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行星、彗星等天体的运行轨道都是椭圆形的。
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延伸阅读
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有意思的是，椭圆的周长没有一个简单的计算公式。但是，数学界的天才人物拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920）找到了下面这个美妙的计算公式。以前文中描述的椭圆为例，它的周长约为：
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