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12堂魔力数学课 [:1700993755]
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12堂魔力数学课 单位圆、正弦定理与余弦定理
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到目前为止，我们都是利用直角三角形来定义各个三角函数的，而且我强烈建议大家无须思考，因为你们只要记住这些定义即可。但是，这些定义有一个缺点：只在角的度数为0°~90°时（直角三角形一定有一个90°角和两个锐角），我们才能求出它的正弦、余弦和正切。本节将讨论如何利用单位圆来定义三角函数，这种定义法可以帮助我们求出任意角的正弦、余弦和正切。
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请大家回顾一下单位圆的定义：以圆点 ( 0, 0 ) 为圆心，以1为半径的圆。在上一章，我们利用勾股定理推导出单位圆的方程式为x2+y2= 1。如下图所示，假设从点 (1, 0) 开始沿圆周逆时针方向运动构成的锐角A在单位圆上所对应的点为 (x,y) ，请大家确定该点的坐标。
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单位圆上与角A对应的点 (x,y) 的坐标为：x= cosA，y= sinA
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画一个直角三角形，然后根据余弦和正弦函数，就可以求出x和y。具体来说，就是：
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cosA===x
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cosA===y
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换句话说，点 (x,y)等于 (cosA, sinA)。[推而广之，如果圆的半径为r，那么 (x,y) = (rcosA, r sinA)。]
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我们可以把上述结论推广至任意角，把 (cosA, sinA) 定义为角A在单位圆上的对应点。（换言之，角A与单位圆交点的横坐标与纵坐标分别为cosA和sinA。）我们用下图来表示这个结论。
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cosA与sinA的一般定义
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在下图中，我们以30°为单位，将单位圆分成若干等分，再标记出45°的坐标，因为它们分别对应我们之前研究的特殊三角形的内角。我们列出了0°、30°、45°、60°和90°的余弦和正弦，具体如下：
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(cos 0°, sin 0°) = (1, 0)
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(cos 30°, sin 30°) = (/ 2, 1 / 2)
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(cos 45°, sin 45°) = (/ 2,/ 2)
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(cos 60°, sin 60°) = (1 / 2,/ 2)
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(cos 90°, sin 90°) = (0, 1)