1700998669
值得我们学习的最后一批词汇与反三角函数有关，因为反三角函数可以帮助我们确定角的度数。例如，1 / 2的反正弦函数arc sin(1 / 2)表示角A的正弦函数sinA= 1 / 2。我们知道sin 30°= 1 / 2，因此：
1700998670
1700998671
arc sin(1 / 2) = 30°
1700998672
1700998673
反正弦函数arc sin对应的角一定在 –90°与90°之间，但我们必须知道，在这个区间之外，还有一些角的正弦函数值一样，例如sin 150°= 1/2。同样，在30°或150°的基础上加上360°的倍数之后，正弦函数的值保持不变，仍然是1/2。
1700998674
1700998675
对于下图所示的3–4–5三角形，利用三角函数与计算器，可以通过3种不同方法计算出角A的度数：
1700998676
1700998677
∠A= arc sin (3 / 5) = arc cos (4 / 5) = arc tan (3 / 4) ≈ 36.87°≈ 37°
1700998678
1700998679
1700998680
1700998681
1700998682
利用反三角函数和边长可以求出角的度数。在本例中，由于tanA= 3 / 4，因此∠A= arc tan (3 / 4) ≈ 37°
1700998683
1700998684
接下来，我们就可以利用这些三角函数来解决问题了。在几何学中，给定任意直角三角形的直角边长之后，我们就可以根据勾股定理求出其斜边的长度。在三角学中，我们可以利用“余弦定理”（law of cosines），对任意三角形进行类似运算。
1700998685
1700998686
定理（余弦定理）：对于任意三角形ABC，已知两条边的边长分别为a和b，两边的夹角为C，则第三边的边长满足下列等式：
1700998687
1700998688
c2=a2+b2– 2abcosC
1700998689
1700998690
例如，在下图中，三角形ABC两条边的边长分别为21和26，两边夹角为15°。根据余弦定理，第三边的长度c必然满足：
1700998691
1700998692
c2= 212+ 262– 2 (21) (26) cos 15°
1700998693
1700998694
由于cos 15°≈ 0.965 9，因此上述方程式可以化简为c2= 62.21，即c≈ 7.89。
1700998695
1700998696
1700998697
1700998698
1700998699
延伸阅读
1700998700
1700998701
证明：在证明余弦定理时，我们需要考虑∠C是直角、锐角或钝角这三种情况。如果∠C是直角，那么cosC= cos 90°= 0，此时余弦定理简化为c2=a2+b2，与勾股定理一致。
1700998702
1700998703
1700998704
1700998705
1700998706
1700998707
1700998708
如上图所示，如果∠C是锐角，从B向画垂线并与交于点D，就可将三角形ABC分割成两个直角三角形。根据上图，在三角形CBD中，由勾股定理可知a2=h2+x2，也就是说：
1700998709
1700998710
h2=a2–x2
1700998711
1700998712
从三角形ABD可以得到c2=h2+ (b–x)2=h2+b2– 2bx+x2，即：
1700998713
1700998714
h2=c2–b2+ 2bx–x2
1700998715
1700998716
综合上面两个等式，消去h2，可以得到：
1700998717
1700998718
c2–b2+ 2bx–x2=a2–x2