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通过观察可以发现，在三角形OPQ中，和都是单位圆的半径，长度为1，两者的夹角∠POQ的度数为A–B。因此，根据余弦定理：
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c2= 12+ 12– 2 (1) (1) cos (A–B)
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= 2 – 2 cos (A–B)
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与此同时，根据距离公式，c必然满足：
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c2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2
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因此，点P(cosA, sinA) 与点Q(cosB, sinB) 之间的距离c也满足：
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c2= (cosB– cosA)2+ (sinB–sinA)2
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= cos2B–2 cosAcosB+ cos2A+ sin2B–2 sinAsinB+ sin2A
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= 2–2 cosAcosB–2 sinAsinB
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最后一步利用了cos2B+ sin2B= 1和cos2A+ sin2A= 1这两个恒等式。
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消去两个等式中的c2，就会得到：
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2 – 2 cos (A–B) = 2–2 cosAcosB–2 sinAsinB
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两边同时减去2，然后同时除以–2，就会得到：
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cos (A–B) = cosAcosB+ sinAsinB□
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延伸阅读
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上述证明建立在余弦定理的基础上，同时假设0°
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由于∠P’OQ’=A–B，因此P‘ 的坐标是 [cos (A–B), sin (A–B)]。根据距离公式：
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c2= [cos (A–B) – 1]2+ [sin (A–B) – 0]2
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= cos2(A–B) –2 cos (A–B) + 1 + sin2(A–B)
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= 2 – 2 cos (A–B)
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因此，无须运用余弦定理，也无须对角A–B做出任何假设，我们就可以断定c2= 2 – 2 cos (A–B)。其余证明过程同上。
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注意，当A= 90°时，由于cos 90°= 0，sin 90°= 1，因此cos (A–B) 公式会变成：
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cos (90°–B) = cos 90°cosB+ sin 90°sinB
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