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定理：对于任意正数x和y，都有：
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logxy= logx+ logy
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换句话说，积的对数就是对数的和。
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证明：利用指数法则，很容易就能证明这条定理。因为：
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10logx+ logy= 10logx10logy=xy= 10logxy
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所以，10的logx+ logy次幂等于xy。证明完毕。 □
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“指数规则”是另一个有用的特性。
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定理：对于任意正数x和y，都有：
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logxn=nlogx
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证明：根据指数法则，abc= (ab)c。因此：
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10nlogx= (10logx)n=xn
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也就是说，xn的对数等于nlogx。 □
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尽管以10为底的对数在化学和物理科学（如地质学）中的应用非常广泛，但是它本身并没有什么特别之处。在计算机科学与离散数学中，以2为底的对数受欢迎的程度更高。对于任意b> 0，以b为底的对数logb都要遵循下面这条规则：
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如果by=x，那么y= logbx
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例如，log232 = 5，因为25= 32。底为任意数字b时，前面讨论的对数属性都成立。例如：
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blogbx=xlogbxy= logbx+ logbylogbxn=nlogbx
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不过，在数学、物理学和工程学的大多数领域里，应用最广泛的还是以e为底的对数。这种对数叫作“自然对数”（natural logarithm），记作lnx。也就是说：
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如果ey=x，那么y= lnx
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或者说，对于任意实数x：
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ln ex=x
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例如，利用计算器就可以算出ln 5 = 1.609…，我们在前文中也算出e1.609≈ 5。在本书第11章，我们将更深入地讨论自然对数。
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延伸阅读
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所有科学计算器都可以计算自然对数和以10为底的对数值，但是大多数计算器对其他对数却无能为力。不过，大家不用着急，因为我们可以很轻松地改变对数的底。如果知道某个对数的值，基本上也就知道了所有不同底的对数的值。具体来说，我们可以利用下面这个规则，依据以10为底的对数值得出以b为底的对数值。
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定理：对于任意正数x和y，都有：
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logbx=