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如下表所示，p4=D4/ 4! = 9 / 24 = 0.375。
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随着n不断增大，pn逐渐向1 / e靠拢。这个现象有一个令人吃惊的意义，即无论这个班上有10名、100名还是100万名学生，所有人都没有拿到自己作业的概率也不会发生太大变化，都与1 / e非常接近。
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为什么呢？因为在有n名学生时，每名学生拿回自己作业的概率是1 /n，拿到其他人作业的概率是1 – (1 /n)。也就是说，n名学生都拿不到自己作业的概率为：
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这个概率是一个近似值，原因在于它不是独立事件，与彩票的中奖概率问题不同。如果第一个学生拿到的是自己的作业，那么第二个学生拿回自己作业的概率就会略有增加。[概率不再是1 /n，而是1 / (n–1)。]同样，如果第一个学生拿到的不是自己的作业，那么第二个学生拿回自己作业的概率就会略微减小。不过，由于概率变化的幅度不大，因此逼近效果很明显。
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计算概率pn的精确值需要使用ex的无穷级数展开式：
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把x= –1代入方程式，就会得到：
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可以证明，如果有n名学生，所有人都没有拿到自己作业的确切概率是：
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例如，如果有n= 4名学生，那么pn= 1 –1 + 1/2 – 1/6 + 1/24 = 9/24，这同前面的证明结果一致。pn向1 / e逼近的速度非常快，两者之间的距离小于1 / (n+ 1)!。也就是说，p4与1 / e的距离小于1 / 5! = 0.008 3；p10与1 / e的前7位数字都相同；p100与1 / e相同的数字超过150个！
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延伸阅读
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定理：数字e是无理数。
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证明：假设e不是无理数，而是有理数，就存在正整数m、n，满足e =m/n。接下来，用整数n将e的无穷级数展开式分成两个部分L和R，即e =L+R，其中：
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注意，n! e = en(n– 1)! =m(n– 1)! 肯定是一个整数[因为m和 (n– 1)! 都是整数]，n!L也是一个整数（因为只要kGn，n! /k! 就一定是一个整数）。也就是说，n!R=n! e –n!L是两个整数的差，因此，它肯定是整数。但这个结果是不可能的，因为当n H1时：
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由于不存在小于1的正整数，所以n!R不可能是整数。也就是说，假设e =m/n会导致自相矛盾的结果，从而证明e是无理数。 □
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