打字猴:1.7009995e+09
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1700999503 如果令x= –1,那么对于任意大数n,都有:
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1700999508 当n= 100时,(0.99)100≈ 1 / e,与前面的结果一致。因此,中奖概率约为1 – (1 / e) ≈ 64%。
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1700999510 我最喜欢的一个概率问题叫作“匹配问题”(亦称“帽子保管问题”或“错排问题”)。假设有n份作业要发给n个同学,但是老师比较懒惰,给每名学生随机发了一份作业(这份作业可能是这名学生的,也可能是班上其他同学的)。所有学生都没有拿到自己作业的概率是多少?或者说,如果数字1~n被随机打乱,所有数字都不在它原来位置上的概率是多少?例如,如果n= 3,那么数字1、2、3有3! = 6种排列方式,所有数字都不在原来位置上的情况有两种,即231和312。也就是说,当n= 3时,错排的概率是2 / 6 = 1 / 3。
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1700999512 发n份作业共有n! 种发作业方式。令Dn表示错排的种数,那么所有人都没有拿到自己作业的概率是pn=Dn/n!。例如,如果n= 4,就会有9种错排方式:
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1700999514 2143 2341 2413 3142 3412 3421 4123 4312 4321
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1700999516 如下表所示,p4=D4/ 4! = 9 / 24 = 0.375。
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1700999521 随着n不断增大,pn逐渐向1 / e靠拢。这个现象有一个令人吃惊的意义,即无论这个班上有10名、100名还是100万名学生,所有人都没有拿到自己作业的概率也不会发生太大变化,都与1 / e非常接近。
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1700999523 为什么呢?因为在有n名学生时,每名学生拿回自己作业的概率是1 /n,拿到其他人作业的概率是1 – (1 /n)。也就是说,n名学生都拿不到自己作业的概率为:
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1700999528 这个概率是一个近似值,原因在于它不是独立事件,与彩票的中奖概率问题不同。如果第一个学生拿到的是自己的作业,那么第二个学生拿回自己作业的概率就会略有增加。[概率不再是1 /n,而是1 / (n–1)。]同样,如果第一个学生拿到的不是自己的作业,那么第二个学生拿回自己作业的概率就会略微减小。不过,由于概率变化的幅度不大,因此逼近效果很明显。
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1700999530 计算概率pn的精确值需要使用ex的无穷级数展开式:
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1700999535 把x= –1代入方程式,就会得到:
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1700999540 可以证明,如果有n名学生,所有人都没有拿到自己作业的确切概率是:
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1700999545 例如,如果有n= 4名学生,那么pn= 1 –1 + 1/2 – 1/6 + 1/24 = 9/24,这同前面的证明结果一致。pn向1 / e逼近的速度非常快,两者之间的距离小于1 / (n+ 1)!。也就是说,p4与1 / e的距离小于1 / 5! = 0.008 3;p10与1 / e的前7位数字都相同;p100与1 / e相同的数字超过150个!
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1700999547 延伸阅读
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1700999549 定理:数字e是无理数。
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