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如果令x= –1，那么对于任意大数n，都有：
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当n= 100时，(0.99)100≈ 1 / e，与前面的结果一致。因此，中奖概率约为1 – (1 / e) ≈ 64%。
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我最喜欢的一个概率问题叫作“匹配问题”（亦称“帽子保管问题”或“错排问题”）。假设有n份作业要发给n个同学，但是老师比较懒惰，给每名学生随机发了一份作业（这份作业可能是这名学生的，也可能是班上其他同学的）。所有学生都没有拿到自己作业的概率是多少？或者说，如果数字1~n被随机打乱，所有数字都不在它原来位置上的概率是多少？例如，如果n= 3，那么数字1、2、3有3! = 6种排列方式，所有数字都不在原来位置上的情况有两种，即231和312。也就是说，当n= 3时，错排的概率是2 / 6 = 1 / 3。
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发n份作业共有n! 种发作业方式。令Dn表示错排的种数，那么所有人都没有拿到自己作业的概率是pn=Dn/n!。例如，如果n= 4，就会有9种错排方式：
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2143 2341 2413 3142 3412 3421 4123 4312 4321
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如下表所示，p4=D4/ 4! = 9 / 24 = 0.375。
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随着n不断增大，pn逐渐向1 / e靠拢。这个现象有一个令人吃惊的意义，即无论这个班上有10名、100名还是100万名学生，所有人都没有拿到自己作业的概率也不会发生太大变化，都与1 / e非常接近。
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为什么呢？因为在有n名学生时，每名学生拿回自己作业的概率是1 /n，拿到其他人作业的概率是1 – (1 /n)。也就是说，n名学生都拿不到自己作业的概率为：
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这个概率是一个近似值，原因在于它不是独立事件，与彩票的中奖概率问题不同。如果第一个学生拿到的是自己的作业，那么第二个学生拿回自己作业的概率就会略有增加。[概率不再是1 /n，而是1 / (n–1)。]同样，如果第一个学生拿到的不是自己的作业，那么第二个学生拿回自己作业的概率就会略微减小。不过，由于概率变化的幅度不大，因此逼近效果很明显。
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计算概率pn的精确值需要使用ex的无穷级数展开式：
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把x= –1代入方程式，就会得到：
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可以证明，如果有n名学生，所有人都没有拿到自己作业的确切概率是：
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例如，如果有n= 4名学生，那么pn= 1 –1 + 1/2 – 1/6 + 1/24 = 9/24，这同前面的证明结果一致。pn向1 / e逼近的速度非常快，两者之间的距离小于1 / (n+ 1)!。也就是说，p4与1 / e的距离小于1 / 5! = 0.008 3；p10与1 / e的前7位数字都相同；p100与1 / e相同的数字超过150个！
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延伸阅读
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定理：数字e是无理数。