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证明：假设e不是无理数，而是有理数，就存在正整数m、n，满足e =m/n。接下来，用整数n将e的无穷级数展开式分成两个部分L和R，即e =L+R，其中：
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注意，n! e = en(n– 1)! =m(n– 1)! 肯定是一个整数[因为m和 (n– 1)! 都是整数]，n!L也是一个整数（因为只要kGn，n! /k! 就一定是一个整数）。也就是说，n!R=n! e –n!L是两个整数的差，因此，它肯定是整数。但这个结果是不可能的，因为当n H1时：
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由于不存在小于1的正整数，所以n!R不可能是整数。也就是说，假设e =m/n会导致自相矛盾的结果，从而证明e是无理数。 □
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12堂魔力数学课 [:1700993764]
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12堂魔力数学课 完美至极的欧拉公式
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数字e的研究与推广得益于伟大的数学家莱昂哈德·欧拉，也是由欧拉来命名的。有人认为，欧拉之所以选择用字母e来表示这个数字，是因为这是他姓氏的首字母。尽管大多数数学史研究者都不同意这个说法，但还是有很多人把e称为欧拉数字。
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我们已经介绍了函数ex、cosx和sinx的无穷级数展开式，并将在下一章解释这些无穷级数的由来。在这里，我先对这些无穷级数做一个归总：
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这些公式在x为任意实数时均成立，但是欧拉勇于打破常规：如果令x为虚数，结果会怎么样？一个数的虚数次幂意味着什么？他的脑洞大开为我们带来了完美的“欧拉定理”。
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定理（欧拉定理）：对于任意角θ（单位为弧度），都有：
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eiθ= cosθ+isinθ
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证明：为了证明上式成立，我们将x=iθ代入ex的无穷级数展开式中：
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请大家观察i的不同次幂的特点：i0= 1，i1=i，i2= –1，i3= –i（因为i3=i2i= –i）。随后出现了重复现象：i4= 1，i5= i，i6= –1，i7= –i，i8= 1，以此类推。具体来说，我们可以看出在i的不同次幂中，实数与虚数交替出现。因此，我们可以通过下面的代数运算，消去偶数项中的i。
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至此，我们就可以证明本章开头介绍的“上帝的公式”了。令θ= π弧度（或180°），就有：
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eiπ= cosπ +isinπ = –1 +i(0) = –1
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但是，欧拉定理并没有就此止步。我们在前面已经见过cosθ+isinθ这个表达式，它是复平面单位圆上的一个点，与x轴正方向的夹角为θ。如下图所示，欧拉定理指出，我们可以用一个非常简单的方式来表示这个点。
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