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函数y= (12 – 2x)2x在最大值处有一条水平切线
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在最大值的左侧，函数呈上升趋势，斜率为正值；在最大值的右侧，函数呈下降趋势，斜率为负值。因此，在最大值处，函数值既不再增大，也不再减小。用数学语言表述，就是最大值处有一条水平切线（斜率为0）。本章将讨论如何利用微积分，在0到6之间找出有水平切线的那个点。
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说到切线，我们将在本章看到种类繁多的切线。例如，我们刚才考虑的那个问题是找到切掉正方形硬纸板的四角的最佳方法。事实上，本章中有很多问题都是关于如何切掉边角的。微积分这门课程的内容极其丰富，常用教材的篇幅往往超过1 000多页。囿于篇幅，本书只关注其中最重要的内容，主要讨论“微分学”（integral calculus，研究函数的增长与变化情况），而不涉及“积分学”（differential calculus，计算复杂对象的面积与体积）。
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最容易分析的函数就是直线。我们在本书第2章了解到直线y=mx+b的斜率为m。也就是说，如果x增加1，y增加m。例如，直线y= 2x+ 3的斜率为2，如果x的值增加1（比如从x= 10增加到x= 11）时，y就会增加2（从23增加到25）。
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在下图中，我们画出了若干条直线的图像。其中，y= –x的斜率为–1，水平直线y= 5的斜率为0。
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直线的图像
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取任意两点，我们都可以画出一条经过这两点的直线。而且，无须知道这条直线的函数表达式，就可以确定它的斜率。如果直线经过点 (x1,y1) 和 (x2,y2) ，我们就可以根据“高度差与水平距离之比”这个公式计算出它的斜率：
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m=
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在直线y= 2x+ 3上任取两点，例如(0, 3) 和 (4, 11)，那么连接这两点的直线斜率为m== (11 –3)/(4 – 0) = 8 / 4 = 2。计算结果与我们通过观察方程式得到的结果一致。
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接下来，我们考虑函数y=x2+ 1（如下图所示）。该函数图像不是一条直线，它的斜率一直在变化。请大家计算点 (1, 2)处切线的斜率。
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计算函数y=x2+ 1在点 (1, 2)处的切线斜率
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令我们感到头疼的是，我们需要知道两个点的坐标才能计算切线的斜率，但现在我们只知道一个点 (1, 2)。因此，如上图右侧所示，我们先考虑经过曲线上两点的直线（叫作“割线”），通过这条直线的斜率求出切线斜率的近似值。如果x= 1.5，则y=1.52+ 1 = 3.25。接下来，考虑连接点 (1, 2)与(1.5, 3.25) 的直线斜率。根据斜率公式，这条割线的斜率为：
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m==== 2.5
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利用割线斜率求出切线斜率的近似值
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为了更好地求出切线斜率的近似值，我们让第二个点向点 (1, 2) 靠近。例如，如果x= 1.1，则y= (1.1)2+ 1 = 2.21，于是新的割线斜率为m= (2.21 –2)/(1.1–1) = 2.1。从下表可以看出，随着第二个点不断靠近点 (1, 2)，割线斜率趋近于2。
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