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现在，令x =1 +h(h≠0 )，且与x= 1非常接近。那么，y=( 1+h)2+1 = 2h+h2。于是，这条割线的斜率为：
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随着h越来越接近0，割线的斜率也会不断地向2靠近。我们把这个现象表示成：
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它的意思是，当h趋近于0时，2 +h的极限值是2。凭直觉我们知道当h越来越接近0时，2 +h就会不断地向2靠近。由此我们发现，函数y=x2+ 1在点 (1, 2)处的切线斜率为2。
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接下来，我们讨论一般情况下的切线斜率。对于函数y=f(x)，我们希望找出点 [x,f(x)]处切线的斜率。如下图所示，经过点 [x,f(x)] 和其邻近点 [x+h,f(x+h)] 的割线斜率为：
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经过点 [x,f(x)] 和 [x+h,f(x+h)] 的割线斜率为
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我们用符号f ‘(x) 来表示点 [x,f(x)] 处的切线斜率，就有：
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这个定义比较复杂，我举几个例子加以说明。对于直线y=mx+b，有f(x) =mx+b。要求出f(x+h) 的值，我们可以用x+h替代x，即f(x+h) =m(x+h) +b。所以，割线的斜率为：
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这表明斜率与x的值无关，也就是说f‘(x) =m，因为直线y=mx+b的斜率一定为m。
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现在，我们利用这个定义求y=x2的“导数”（derivative）。对于这个函数，有：
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=
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