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= 2x+ h
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所以,当h趋近0时,我们可以得到f ‘(x) = 2x。
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对于f(x) =x3:
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=
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1700999774
1700999775
=
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1700999777
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=
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= 3x2+3xh + h2
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所以,当h趋近0时,我们可以得到f‘(x) = 3x2。
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求已知函数y=f(x) 的导函数f‘ (x) 的过程叫作“微分”(differentiation)。告诉大家一个好消息:一旦知道了一些简单函数的导数,我们就可以轻松求出某些复杂函数的导数,而无须利用前文中介绍的基于极限的正式定义。下面这条定理十分有用。
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定理:如果u(x) =f(x) +g(x),那么u’(x) =f‘ (x) +g’(x)。换言之,和的导数等于导数的和。此外,如果c是任意实数,那么c f(x) 的导数是cf ‘(x)。
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由于y=x3的导数是3x2,y=x2的导数是2x,因此,根据上述定理,y=x3+x2的导数为3x2+ 2x。我们再举一个例子,对上述定理的第二句话加以说明,函数y= 10x3的导数为30x2。
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延伸阅读
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证明:令u(x) =f(x) +g(x),那么
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=
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=+
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当h趋近0时,对两边求极限就会得到:
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u’(x) =f‘ (x) +g‘ (x) □
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请大家注意,在对这个方程式右边求极限的时候,我们应用了“和的极限就是极限之和”这条定理。我们不准备给出关于这条定理的严谨的证明过程,但凭直觉就能知道,如果数字a趋近A,b趋近B,a+b就会趋近A+B。我们还注意到,“积的极限就是极限的积”,“商的极限就是极限的商”,这两个说法同样正确。但是,我们也将发现,导数的相关法则不像这样简单直接。例如,积的导数并不是导数的积。
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就上述定理的第二句话而言,如果v(x) =cf(x),那么:
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