1700999700
令我们感到头疼的是，我们需要知道两个点的坐标才能计算切线的斜率，但现在我们只知道一个点 (1, 2)。因此，如上图右侧所示，我们先考虑经过曲线上两点的直线（叫作“割线”），通过这条直线的斜率求出切线斜率的近似值。如果x= 1.5，则y=1.52+ 1 = 3.25。接下来，考虑连接点 (1, 2)与(1.5, 3.25) 的直线斜率。根据斜率公式，这条割线的斜率为：
1700999701
1700999702
1700999703
1700999704
1700999705
m==== 2.5
1700999706
1700999707
1700999708
1700999709
1700999710
利用割线斜率求出切线斜率的近似值
1700999711
1700999712
为了更好地求出切线斜率的近似值，我们让第二个点向点 (1, 2) 靠近。例如，如果x= 1.1，则y= (1.1)2+ 1 = 2.21，于是新的割线斜率为m= (2.21 –2)/(1.1–1) = 2.1。从下表可以看出，随着第二个点不断靠近点 (1, 2)，割线斜率趋近于2。
1700999713
1700999714
1700999715
1700999716
1700999717
现在，令x =1 +h(h≠0 )，且与x= 1非常接近。那么，y=( 1+h)2+1 = 2h+h2。于是，这条割线的斜率为：
1700999718
1700999719
1700999720
1700999721
1700999722
随着h越来越接近0，割线的斜率也会不断地向2靠近。我们把这个现象表示成：
1700999723
1700999724
1700999725
1700999726
1700999727
它的意思是，当h趋近于0时，2 +h的极限值是2。凭直觉我们知道当h越来越接近0时，2 +h就会不断地向2靠近。由此我们发现，函数y=x2+ 1在点 (1, 2)处的切线斜率为2。
1700999728
1700999729
接下来，我们讨论一般情况下的切线斜率。对于函数y=f(x)，我们希望找出点 [x,f(x)]处切线的斜率。如下图所示，经过点 [x,f(x)] 和其邻近点 [x+h,f(x+h)] 的割线斜率为：
1700999730
1700999731
1700999732
1700999733
1700999734
1700999735
1700999736
1700999737
1700999738
经过点 [x,f(x)] 和 [x+h,f(x+h)] 的割线斜率为
1700999739
1700999740
我们用符号f ‘(x) 来表示点 [x,f(x)] 处的切线斜率，就有：
1700999741
1700999742
1700999743
1700999744
1700999745
这个定义比较复杂，我举几个例子加以说明。对于直线y=mx+b，有f(x) =mx+b。要求出f(x+h) 的值，我们可以用x+h替代x，即f(x+h) =m(x+h) +b。所以，割线的斜率为：
1700999746
1700999747
1700999748
1700999749