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=+
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当h趋近0时,对两边求极限就会得到:
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u’(x) =f‘ (x) +g‘ (x) □
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请大家注意,在对这个方程式右边求极限的时候,我们应用了“和的极限就是极限之和”这条定理。我们不准备给出关于这条定理的严谨的证明过程,但凭直觉就能知道,如果数字a趋近A,b趋近B,a+b就会趋近A+B。我们还注意到,“积的极限就是极限的积”,“商的极限就是极限的商”,这两个说法同样正确。但是,我们也将发现,导数的相关法则不像这样简单直接。例如,积的导数并不是导数的积。
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就上述定理的第二句话而言,如果v(x) =cf(x),那么:
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v’(x) ==
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=c=c f ‘(x)
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证明完毕。 □
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在求f(x) =x4的导数时,我们可以先列出函数展开式:f(x+h) = (x+h)4=x4+ 4x3h+ 6x2h2+ 4xh3+h4。这个表达式的系数依次为1、4、6、4、1。看到这些数字,大家可能会觉得有些眼熟。原来,它们是我们在本书第4章里见过的帕斯卡三角形第4行的数字。有了函数展开式之后,我们可以得到:
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== 4x3+h×(6x2+4xh+h2)
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所以,当h趋近0时,就会得到f‘(x) = 4x3。看出其中的规律了吗?x、x2、x3和x4的导数分别是1、2x、3x2和4x3。即使指数继续增加,这个规律仍然成立,因此我们可以得出下面这个非常有用的定理。另一个常用的导数符号是y’,从现在开始,我们就使用这个符号。
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定理(幂函数求导公式):对于nH0,
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y=xn的导数为y’=nxn–1
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例如:
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如果y=x5,那么y’= 5x4
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再例如:
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如果y=x10,那么y’= 10x9
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常数函数,例如y= 1,也可以根据这个规则求导。因为1=x0,因此,无论x的值是多少,y=x0的导数都是0x–1= 0。这个结果不难理解,因为直线y= 1是一条水平线。结合幂函数求导公式和前文中给出的那条定理,我们可以求出任意多项式的导数。例如:
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y=x10+ 3x5–x3– 7x+ 2 520
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y’= 10x9+ 15x4– 3x2– 7
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即使n不是正整数,幂函数求导公式也成立。例如:
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