打字猴:1.7009999e+09
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1700999901 延伸阅读
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1700999903 f(x) = ex为什么满足f‘(x) = ex呢?现在,我们来探讨其中的原因。我们注意到:
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1700999908 ==
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1700999910 现在,请大家回想一下e的定义:
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1700999914 e =( 1+)n
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1700999916 从定义可以看出,随着n不断增大,(1 + 1 /n)n将会趋近e。现在,令h= 1 /n。当n非常大时,h= 1 /n就会趋近0。也就是说,当h趋近0时:
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1700999918 e ≈ (1 +h)1/h
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1700999920 等式两边同时求h次幂,根据指数法则(ab)c=abc,可以得到:
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1700999922 eh≈ 1 +h
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1700999924 也就是说:
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1700999927 ≈ 1
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1700999931 因此,当h趋近0时,趋近1,趋近ex。证明完毕。 □
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1700999933 是否还有其他函数与它们的导函数相同呢?有,但所有符合条件的都是y=cex(x为实数)这种形式的函数。(注意,c= 0时函数也符合条件,我们得到的是常数函数y= 0。)
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1700999935 我们已经知道,函数相加时,和的导数就是导数的和。函数乘积的导数呢?千万注意,乘积的导数并不是导数的乘积。不过,从下面的定理可以看出,乘积的导数也不难求。
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1700999937 定理(函数积求导法则):如果y=f(x)g(x),那么:
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1700999939 y’=f(x)g‘ (x) +f‘ (x)g(x)
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1700999941 例如,在求y=x3ex的导数时,我们令f(x) =x3,g(x) = ex,就有:
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1700999943 y’=f(x)g‘ (x) +f‘ (x)g(x)
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1700999945 =x3ex+ 3x2ex
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1700999947 注意,当f(x) =x3,g(x) =x5时,根据函数积求导法则,x3x5=x8的导数为:
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1700999949 y’=x3(5x4) + 3x2(x5)
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