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= 5x7+ 3x7= 8x7
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这与幂函数求导公式一致。
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证明(函数积求导法则):令u(x) =f(x)g(x),就有:
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=
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接下来,我们采用一个巧妙的方法:在分子上先减去再加上f(x+h)g(x)。这样一来,在分子保持不变的情况下,我们把上式变成:
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=f(x+h) [] + []g(x)
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当h趋近0时,上式就会变成f(x)g‘ (x) +f‘ (x)g(x)。证明完毕。 □
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函数积求导法则不仅可以用于计算,还可以帮助我们求出其他函数的导数。例如,我们在前文中证明当指数为正时,幂函数求导公式成立,现在我们可以证明当指数为分数和负数时,该公式也成立。
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例如,幂函数求导公式表明:
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我们现在用函数积求导法则来证明上述结果。假设,那么:
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对等式两边进行求导运算,根据函数积求导法则,我们可以得到:
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u(x)u‘ (x) +u‘ (x)u(x) = 1
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也就是说,2u(x)u‘ (x) = 1,因此,这同上述结果一致。
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如果幂函数求导公式还可以用于指数为负数的情况,那么根据该公式,y=x–n应该有导数y’= –nx–n–1=。为了证明这个结论,我们令u(x) =x–n,其中nH 1。根据定义,当x≠ 0时,有:
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u(x)xn=x–nxn=x0= 1
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