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把g(x)u(x) 替换成f(x)，求出u‘ (x) 的值，就会发现它与我们想要的结果一致。 □
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我们已经知道如何对多项式、指数函数、三角函数等求导，还学会了函数和、积与商的求导方法，“链式法则”（chain rule）（本书将给出这条法则，但不提供证明过程）则会告诉我们如何对复合函数求导。例如，如果f(x) = sinx，g(x) =x3，那么：
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f[g(x)] = sin [g(x)] = sin (x3)
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请注意，该函数不同于函数g[f(x)] =g(sinx) = (sinx)3。
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定理（链式法则）：如果y=f[g(x)]，那么y’=f‘[g(x)]g‘(x)。
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例如，如果f(x) = sinx，g(x) =x3，那么f‘(x) = cosx，g‘(x) = 3x2。根据链式法则，如果y=f[g(x)] = sin (x3)，那么：
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y’=f‘[g(x)]g‘(x) = cos [g(x)]g‘(x) = 3x2cos (x3)
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一般来说，根据链式法则，如果y= sin [g(x)]，那么y’=g‘(x) cos [g(x)]。同理，如果y= cos [g (x)]，那么y’= –g‘(x) sin [g(x)]。
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另一方面，对于函数y=g[f(x)] = (sinx)3，由链式法则可知：
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y’=g‘[f(x)]f‘(x) = 3[f(x)2]f‘(x) = 3sin2xcosx
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推而广之，如果y= [g(x)]n，那么y’=n[g(x)]n–1g‘(x)。根据链式法则，如何对y= (x3)5求导呢？
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y’= 5(x3)4(3x2) = 5x12(3x2) = 15x14
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这与幂函数求导公式得出的结果一致。
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请大家计算的导数。根据链式法则：
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指数函数的求导运算同样非常简单。由于ex的导数就是它本身，因此，当y= eg(x)时，根据链式法则：
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y’=g‘(x) eg(x)
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例如，y= ex3的导数为y’= ( 3x2) ex3。
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请大家注意，函数y= ekx的导函数为y’=kekx=ky。指数函数之所以非常重要，这个属性是原因之一。只要函数的增长速度与函数值的大小成比例关系，就会产生指数函数，指数函数在金融、生物领域中的出现频率特别高。
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对于任意x> 0，自然对数函数lnx都具有以下特性：
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elnx=x
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下面，我们利用链式法则来求它的导数。令u(x) = lnx，则eu(x)=x。对方程式两边求导，就会得到u‘(x) eu(x)= 1。由于eu(x)=x，因此u‘(x) = 1/x。换句话说，如果y= lnx，那么y’= 1/x。根据链式法则，如果y= ln [g(x)]，则y’=。
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我们把根据链式法则得出的这些结论汇总如下：
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