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指数函数的求导运算同样非常简单。由于ex的导数就是它本身，因此，当y= eg(x)时，根据链式法则：
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y’=g‘(x) eg(x)
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例如，y= ex3的导数为y’= ( 3x2) ex3。
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请大家注意，函数y= ekx的导函数为y’=kekx=ky。指数函数之所以非常重要，这个属性是原因之一。只要函数的增长速度与函数值的大小成比例关系，就会产生指数函数，指数函数在金融、生物领域中的出现频率特别高。
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对于任意x> 0，自然对数函数lnx都具有以下特性：
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elnx=x
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下面，我们利用链式法则来求它的导数。令u(x) = lnx，则eu(x)=x。对方程式两边求导，就会得到u‘(x) eu(x)= 1。由于eu(x)=x，因此u‘(x) = 1/x。换句话说，如果y= lnx，那么y’= 1/x。根据链式法则，如果y= ln [g(x)]，则y’=。
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我们把根据链式法则得出的这些结论汇总如下：
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接下来，我们利用链式法则来解决“奶牛微积分”问题！一条小河由东向西流淌（x轴），奶牛克莱拉站在小河北边1英里的地方，牛棚在克莱拉东边3英里、北边1英里的地方。克莱拉想去小河边喝完水后回到牛棚。请问，要使克莱拉行走的路程最短，我们如何帮它找到饮水点的位置？
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奶牛微积分：要使奶牛行走的路程最短，如何确定饮水点的位置？
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我们还可以用第7章介绍的“映像法”来验证这个答案。我们假设克莱拉喝完水之后，不是回到点(3, 2)处的牛棚，而是如下图所示走到牛棚的映像点B‘ (3, –2)处。
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利用映像法，也可以解决这个问题
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饮水点到点B‘的距离与到点B的距离正好相等。从小河北边的任意位置走到小河南边都必须越过x轴，其中距离最短的路线是点 (0, 1)和点 (3, –2)的连线。这条直线的斜率是 –3/3 = –1，与x轴相交于x= 1的位置。这种方法既不需要使用微积分，也不需要开平方！
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12堂魔力数学课 [:1700993769]
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12堂魔力数学课 泰勒级数与你的银行存款
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在上一章的结尾部分证明欧拉公式的过程中，我们使用了下面这些神秘的公式：
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