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1701000202 指数函数的求导运算同样非常简单。由于ex的导数就是它本身,因此,当y= eg(x)时,根据链式法则:
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1701000204 y’=g‘(x) eg(x)
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1701000206 例如,y= ex3的导数为y’= ( 3x2) ex3。
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1701000208 请大家注意,函数y= ekx的导函数为y’=kekx=ky。指数函数之所以非常重要,这个属性是原因之一。只要函数的增长速度与函数值的大小成比例关系,就会产生指数函数,指数函数在金融、生物领域中的出现频率特别高。
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1701000210 对于任意x> 0,自然对数函数lnx都具有以下特性:
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1701000212 elnx=x
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1701000215 下面,我们利用链式法则来求它的导数。令u(x) = lnx,则eu(x)=x。对方程式两边求导,就会得到u‘(x) eu(x)= 1。由于eu(x)=x,因此u‘(x) = 1/x。换句话说,如果y= lnx,那么y’= 1/x。根据链式法则,如果y= ln [g(x)],则y’=。
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1701000217 我们把根据链式法则得出的这些结论汇总如下:
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1701000222 接下来,我们利用链式法则来解决“奶牛微积分”问题!一条小河由东向西流淌(x轴),奶牛克莱拉站在小河北边1英里的地方,牛棚在克莱拉东边3英里、北边1英里的地方。克莱拉想去小河边喝完水后回到牛棚。请问,要使克莱拉行走的路程最短,我们如何帮它找到饮水点的位置?
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1701000227 奶牛微积分:要使奶牛行走的路程最短,如何确定饮水点的位置?
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1701000232 我们还可以用第7章介绍的“映像法”来验证这个答案。我们假设克莱拉喝完水之后,不是回到点(3, 2)处的牛棚,而是如下图所示走到牛棚的映像点B‘ (3, –2)处。
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1701000237 利用映像法,也可以解决这个问题
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1701000239 饮水点到点B‘的距离与到点B的距离正好相等。从小河北边的任意位置走到小河南边都必须越过x轴,其中距离最短的路线是点 (0, 1)和点 (3, –2)的连线。这条直线的斜率是 –3/3 = –1,与x轴相交于x= 1的位置。这种方法既不需要使用微积分,也不需要开平方!
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1701000244 12堂魔力数学课 [:1700993769]
1701000245 12堂魔力数学课 泰勒级数与你的银行存款
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1701000247 在上一章的结尾部分证明欧拉公式的过程中,我们使用了下面这些神秘的公式:
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