打字猴:1.70100015e+09
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1701000151 利用同样方法可以证明函数商求导法则。
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1701000153 定理(函数商求导法则):如果u(x) =f(x) /g(x),那么:
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1701000156 u’(x) =
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1701000158 延伸阅读
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1701000160 函数商求导法则证明过程如下:
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1701000162 因为u(x)g(x)=f(x),等式两边同时进行求导运算,根据函数积求导法则,可以得到:
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1701000164 u(x)g‘(x) +u‘(x)g(x) =f‘(x)
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1701000166 等式两边同时乘以g(x):
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1701000168 g(x)u(x)g‘(x) +u‘(x)g(x)g(x) =g(x)f‘(x)
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1701000170 把g(x)u(x) 替换成f(x),求出u‘ (x) 的值,就会发现它与我们想要的结果一致。 □
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1701000172 我们已经知道如何对多项式、指数函数、三角函数等求导,还学会了函数和、积与商的求导方法,“链式法则”(chain rule)(本书将给出这条法则,但不提供证明过程)则会告诉我们如何对复合函数求导。例如,如果f(x) = sinx,g(x) =x3,那么:
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1701000174 f[g(x)] = sin [g(x)] = sin (x3)
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1701000176 请注意,该函数不同于函数g[f(x)] =g(sinx) = (sinx)3。
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1701000178 定理(链式法则):如果y=f[g(x)],那么y’=f‘[g(x)]g‘(x)。
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1701000180 例如,如果f(x) = sinx,g(x) =x3,那么f‘(x) = cosx,g‘(x) = 3x2。根据链式法则,如果y=f[g(x)] = sin (x3),那么:
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1701000182 y’=f‘[g(x)]g‘(x) = cos [g(x)]g‘(x) = 3x2cos (x3)
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1701000184 一般来说,根据链式法则,如果y= sin [g(x)],那么y’=g‘(x) cos [g(x)]。同理,如果y= cos [g (x)],那么y’= –g‘(x) sin [g(x)]。
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1701000186 另一方面,对于函数y=g[f(x)] = (sinx)3,由链式法则可知:
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1701000188 y’=g‘[f(x)]f‘(x) = 3[f(x)2]f‘(x) = 3sin2xcosx
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1701000190 推而广之,如果y= [g(x)]n,那么y’=n[g(x)]n–1g‘(x)。根据链式法则,如何对y= (x3)5求导呢?
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1701000192 y’= 5(x3)4(3x2) = 5x12(3x2) = 15x14
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1701000194 这与幂函数求导公式得出的结果一致。
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1701000197 请大家计算的导数。根据链式法则:
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