1701000410
1701000411
无穷大是不是一个数字呢？尽管我们有时候把它当作一个数字，但实际上它并不是数字。粗略地说，数学界可能会这样理解无穷大的概念：
1701000412
1701000413
1701000414
∞+ 1 =∞ ∞+∞ =∞ 5×∞= ∞= 0
1701000415
1701000416
从技术上讲，最大的数字是不存在的，因为我们总是可以加上1，得到一个更大的数字。从本质上讲，∞这个符号的意思是“任意大”，或者说大于所有正数。同理，–∞的意思是这个数字比所有负数都小。顺便告诉大家，∞–∞（无穷大减去无穷大）和1/0都无解。大家可能会认为1/0 =∞，因为1被越来越小的数除，商应该越来越大。但是，如果我们用越来越接近0的负数去除1，商就会朝着负数的方向渐行渐远。
1701000417
1701000418
1701000419
1701000420
1701000421
12堂魔力数学课 [:1700993772]
1701000422
12堂魔力数学课 等比数列和喝啤酒的数学家
1701000423
1701000424
先来思考一个数学界普遍认可，但大多数人第一眼见到时都觉得不正确的命题：
1701000425
1701000426
0.999 99… = 1
1701000427
1701000428
所有人都承认这两个数字非常接近，也可以说是无比接近，但很多人仍然认为不应该把它们视为同一个数。下面，我将提供不同的证据，证明这两个数字其实相等。我希望其中至少有一个解释可以让你感到满意。
1701000429
1701000430
如果大家认为下面这个等式成立
1701000431
1701000432
1701000433
= 0.333 33…
1701000434
1701000435
那么，最简便的证明方法可能就是在上式两边同时乘以3，然后得到：
1701000436
1701000437
1701000438
1 == 0.999 99…
1701000439
1701000440
第二种证明方法是本书第6章用过的循环小数计算方法。我们用变量w来表示无穷小数展开式：
1701000441
1701000442
w= 0.999 99…
1701000443
1701000444
在等式两边同时乘以10，就会得到：
1701000445
1701000446
10w= 9.999 99…
1701000447
1701000448
再用第二个等式减去第一个等式：
1701000449
1701000450
9w= 9.000 00…
1701000451
1701000452
由此得到：w= 1。
1701000453
1701000454
下面这种证明方法无须使用任何代数运算。如果两个数字不相等，那么它们中间必然存在一个不等于它们的数字（例如平均数）。大家对于这句话应该没有异议吧？我们采用反证法，假设0.999 99…与1是两个不相等的数字。在这种情况下，它们中间是否存在其他数字呢？如果无法找到这样的数字，就说明0.999 99…与1不可能是两个不相等的数字。
1701000455
1701000456
如果两个数字或者两个无穷和彼此之间无限接近，我们就说这两个数字或无穷和相等。换句话说，你随便选一个正数，比如0.01、0.000 000 1或者十亿分之一，这两个数字之间的差都比你选的这个数字小。由于1和0.999 99…的差小于任意正数，因此数学界一致认为这两个数字是相等的。
1701000457
1701000458
同理，我们可以算出下面这个无穷级数的和：
1701000459