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1 +++++ …= 2
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我们用一个具体的方式来解释这个和。假设你朝着2米外的一堵墙壁走过去，第一步正好是1米，第二步是0.5米，然后是1/4米、1/8米，以此类推。每走一步，你与墙壁之间的距离就缩短1/2。不考虑在实际情况下步幅下限的问题，最后你如愿以偿地无限接近那堵墙。也就是说，所有步幅的总和正好等于2米。
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如下图所示，我们还可以用几何方法来表示这个和。假设我们有一个1×2的矩形，面积为2。然后，我们将它切去1/2，再切去1/2，就这样不停地切下去。第一次切完后矩形的面积是1，接下来依次是1/2、1/4……随着n趋于无穷大，这些切掉的部分就会组成整个矩形，因此它们的总面积为2。
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1 +++++ …= 2的几何证明法
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下面再介绍一种基于代数运算的解释方法。观察下表给出的“部分和”（partial sums）公式。
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表中给出的部分和似乎表明，对于nH 0，有：
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1 +++… += 2 –
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我们可以通过归纳性证明法（参见本书第6章）验证上述结论，也可以把它视为下面给出的有穷等比数列求和公式的一个特例。
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定理（有穷等比数列）：对于x≠ 1且nH 0，有：
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1 +x+x2+x3+ … +xn=
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证明方法1：这条定理可以按照以下方式，利用归纳性证明法来验证。当n= 0时，该公式可以简化为1 =，这个等式毫无疑问是成立的。现在，我们假设当n=k时公式成立，就有：
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1 +x+x2+x3+ … +xk=
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当n=k+ 1时，即在上式左右两边同时加上xk+1，就会得到：
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1 +x+x2+x3+ … +xk+xk+1=+xk+1