打字猴:1.70100046e+09
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1701000464 1 +++++ …= 2
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1701000466 我们用一个具体的方式来解释这个和。假设你朝着2米外的一堵墙壁走过去,第一步正好是1米,第二步是0.5米,然后是1/4米、1/8米,以此类推。每走一步,你与墙壁之间的距离就缩短1/2。不考虑在实际情况下步幅下限的问题,最后你如愿以偿地无限接近那堵墙。也就是说,所有步幅的总和正好等于2米。
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1701000468 如下图所示,我们还可以用几何方法来表示这个和。假设我们有一个1×2的矩形,面积为2。然后,我们将它切去1/2,再切去1/2,就这样不停地切下去。第一次切完后矩形的面积是1,接下来依次是1/2、1/4……随着n趋于无穷大,这些切掉的部分就会组成整个矩形,因此它们的总面积为2。
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1701000477 1 +++++ …= 2的几何证明法
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1701000479 下面再介绍一种基于代数运算的解释方法。观察下表给出的“部分和”(partial sums)公式。
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1701000484 表中给出的部分和似乎表明,对于nH 0,有:
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1701000491 1 +++… += 2 –
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1701000493 我们可以通过归纳性证明法(参见本书第6章)验证上述结论,也可以把它视为下面给出的有穷等比数列求和公式的一个特例。
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1701000495 定理(有穷等比数列):对于x≠ 1且nH 0,有:
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1701000498 1 +x+x2+x3+ … +xn=
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1701000501 证明方法1:这条定理可以按照以下方式,利用归纳性证明法来验证。当n= 0时,该公式可以简化为1 =,这个等式毫无疑问是成立的。现在,我们假设当n=k时公式成立,就有:
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1701000504 1 +x+x2+x3+ … +xk=
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1701000506 当n=k+ 1时,即在上式左右两边同时加上xk+1,就会得到:
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1701000509 1 +x+x2+x3+ … +xk+xk+1=+xk+1
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